绝对性

数学术语

在数学逻辑中，如果在某些类型的结构（也称为模型）中具有相同的真值，则公式被认为是绝对的。关于绝对性的定理通常建立公式的绝对性及其句法形式之间的关系。

定义

有两种较弱的部分绝对形式。如果结构M的每个子结构N中的公式的真实性来自于M中的真值，公式是向下绝对的。如果一个结构N中的一个公式的真实性意味着每个结构M的延伸N的真值，则该公式是向上绝对的。

绝对问题在集合理论和模型理论中，尤其在同时考虑多个结构的领域十分重要。在模型理论中，几个基本的结果和定义是绝对的。在集合理论中，集合的属性是绝对的问题得到了很好的研究。 Shoenfield绝对定理，由于约瑟夫·肖恩菲尔德（Joseph Shoenfield，1961），确定了集合理论模型与其可构造的宇宙之间的一大类公式的绝对性，并且具有重要的方法学影响，同时还研究了大型基数公理的绝对性，得出了正面和负面结果。

与模型理论

在模型理论中，有几个与绝对相关的一般结果和定义。向下绝对的一个基本例子是，在结构中真实的通用句子（只有通用量词的那些）在原始结构的每个子结构中也是正确的。相反，存在句子从结构向包含它的任何结构都是上升的。

如果两个结构在共同语言中同意所有句子的真值，也就是说，如果其语言中的所有句子在两个结构之间是绝对的，则这两个结构被定义为基本相等。如果每当M和N是理论的模型，M是N的子结构，则M是N的基本子结构，则理论被定义为模型完成。

与集合理论

现代集理论的一个主要部分是研究不同型号的ZF和ZFC。了解这些模型的研究对于不同模型来说，知道哪一个属性是绝对的。通常从固定理论的固定模型开始，只考虑包含与固定模型相同的序数的其他传递模型。

某些属性对于集合理论的所有传递模型是绝对的，其中包括：

x是空集。

x是一个序数。

X是有限序数。

x =ω。

x是函数的。

其他属性，如可数性，不是绝对的。

绝对失败

Skolem的悖论是一方面的矛盾，一方面，实数的数量是无数的（这可以从ZFC证明，甚至可以从ZFC的一个小型有限子系统ZFC'证明），另一方面也是可数的传递模型的ZFC（这在ZFC中可以证明），而这样一个模型中的一组实数将是一个可数的集合。可以通过注意到ZFC的特定模型的子模型的可数性不是绝对的来解决悖论。可能的是，集合X可以在集合理论的模型中计数，但在包含X的子模型中是不可数的，因为子模型可以不包含X和ω之间的双极，而可计数的定义是存在这样的一个双射。 Löwenheim-Skolem定理在应用于ZFC时表明，这种情况确实发生了。

Shoenfield的绝对定理

Shoenfield的绝对定理显示分析层次中的和语句在解释为每个模型中自然数语句时，其在ZF模型中的V以及L中是绝对的。该定理允许语句使用V中的自然数集合作为参数，在这种情况下，L必须由包含这些参数和所有序数的最小子模型代替。该定理有必然性，语句是向上绝对的（如果这样的一个语句在L中成立，那么它保持在V）和句子是向下绝对的（如果他们保持在V，那么他们保持字啊L）。因为任何两个具有相同序数的集合理论的传递模型都具有相同的可构造的宇宙，Shoenfield定理表明，两个这样的模型必须一致地认为语句为真。

Shoenfield定理的一个结论与选择的公理有关。 Gödel证明，即使V仅被认为满足ZF，L总是满足ZFC。 Shoenfield定理表明，如果存在一个ZF模型，其中给定的语句为假，则φ也为假该模型的可构造宇宙。相反，这意味着如果ZFC证明了一个语句，那么这个句子也可以在ZF中证明。同样的论据也可以适用于任何其他原则，如组合原理。即使这些原则与ZF无关，ZF中的每一个的结果已经证明了。特别是，这包括可以用Peano算术（一级）语言表达的任何后果。

Shoenfield定理也表明，可以通过强制的方法获得独立结果的局限性。特别是，Peano算术的任何语句都是与具有相同序数的集合理论的传递模型绝对的。因此，不可能用强制来改变算术句子的真值，因为强制不会改变它所应用的模型的序数。许多著名的开放问题，如黎曼假说和P = NP问题，可以表示为句（或较低的复杂度），因此不能通过强制来证明与ZFC无关。

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