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绝对收敛

数学概念

绝对收敛一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况。如果级数ΣUn各项的绝对值所构成的级数Σ|Un|收敛，则称级数ΣUn绝对收敛，级数ΣUn称为绝对收敛级数。绝对收敛级数一定收敛。

级数
定义
如果级数 各项的绝对值所构成的级数 收敛，则称级数 绝对收敛，级数 称为绝对收敛级数。
定理
定理1：绝对收敛级数一定收敛。
定理2：设级数 绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得的级数也绝对收敛，且有相同的和数。
注意：由条件收敛级数重排后所得的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。而且，条件收敛级数适当排列后，可得到发散级数，或收敛于事先任意指定的数。
定理3：若级数：
都绝对收敛，则对所有乘积 按任意排列所得的级数 也绝对收敛，且其和等于AB。
判别方法
由定义可知，要知道 是否绝对收敛，只需要看 是否收敛。下面将介绍5种判别级数是否收敛的方法。
（1）【阿贝尔判别法】
若 为单调有界数列，且级数 收敛，则级数 收敛。
（2）【狄利克雷判别法】
若数列 单调递减，且 ，又级数 的部分和数列有界，则级数 收敛。
（3）【比式判别法】
设 为正项级数，且存在某正整数 及常数q 。若对一切 ，不等式 成立，则级数 收敛；若对一切 ，不等式 成立，则级数 发散。
【推论】
设 为正项级数，且 ，则若 时，级数 收敛；若 或 时，级数 发散；若 ，则无法判断。
（4）【根式判别法】
设 为正项级数，且存在某正整数 及正常数 。若对一切 ，不等式 成立，则级数 收敛；若对一切 ，不等式 成立，则级数 发散。
【推论】
设 为正项级数，且 ，则若 时，级数 收敛；若 时，级数 发散；若 ，则无法判断。
（5）【比较原则】
设 和 是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切n>N，都有： ，若级数 收敛，则，级数 也收敛；若级数 发散，则， 也发散。
无穷积分
定义
1. 若函数 在任何有限区间 上可积，且无穷积分 收敛，则称 绝对收敛。
2.函数在区间上连续，且无穷限积分收敛，则称绝对收敛
定理
1. 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ，存在 ，只要 ，便有：
2.收敛的充要条件是：存在上界
判定方法
（1）【比较判别法】
设定义在上的两个函数f 和 g 都在任意有限区间上可积，且满足
则当收敛时，必定收敛。
（2）【狄利克雷判别法】
若在上有界，在上当 时单调趋于0，则收敛。
（3）【阿贝尔判别法】
若收敛，在上单调有界，则收敛。
无论无穷级数还是无穷积分，它们都是要么发散，要么条件收敛，要么绝对收敛，三者必居其一。
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