统计估计

统计推断形式

统计估计(statistical estimation)是统计推断的一种形式，统计估计的方法是用样本的函数来估计总体的分布函数、分布参数或数字特征。例如，用样本均值估计总体均值；用经验分布函数估计总体分布函数等，参数估计与非参数估计是统计估计的两大部分。

基本介绍

统计估计是指推断统计中用样本资料去估计总体参数的方法。有点估计与区间估计两种。

数理统计包括统计描述和统计推断两部分，统计推断就是由样本推断总体，是统计学的核心内容，统计推断内容非常丰富，大致可以归纳为两大类：统计估计和统计检验。统计估计分为参数估计和非参数估计、点估计和区间估计，下面只涉及参数的点估计和区间估计，参数的点估计，指用样本统计量的值估计未知参数的值。参数的区间估计就是用样本来确定一个区间，使这个区间以很大的概率包含所估计的未知参数，这样的区间称为置信区间。

点估计

点估计是直接估计总体参数的值，通常用样本数据的一个统计量作为总体参数的估计量。例如，在估计一个正态总体的平均数时，把样本数据的平均数取作总体平均数的估计量。点估计时，要求样本统计量是无偏统计量，即要求在无数次重复抽样时，这种样本统计量产生的分布的平均数等于被估计的参数。还要求这个样本分布的方差比其他无偏估计量的方差要小。

若总体X的分布函数的类型已知，其中的参数是未知的，这时可以在总体X中抽取样本，根据待估参数的特征构造出适当的统计量作为参数的估计量；然后由抽取的样本观察值，计算得到估计量的观察值，就是未知参数的估计值(i=1，2，…，m)，这种做法称为参数的点估计，常用的点估计方法有矩估计和最大似然估计，对估计量优劣的评价标准有无偏性、有效性和一致性(相合性)等。

矩估计法

矩估计法的基本思想是：用样本矩估计总体矩，用样本矩的函数去估计总体矩的相应的函数，从而达到对总体参数进行估计的目的。

总体X分布的参数往往通过总体矩(数字特征)反映出来，因此若用样本矩来替换总体矩，用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数，则可获得总体参数的估计量，这种估计方法称为矩估计法。

最大似然估计

最大似然估计又称极大似然估计，它的基本思想是在给定样本观察值之下，给出参数的估计值，使得在之下，样本出现的可能性最大．

估计量的概念及评价标准

用来估计未知参数的真值的统计量称为的估计量，如用作为总体期望的估计量，用作总体方差的估计量等等，但也可用估计用估计等，也就是说估计量不唯一，因而存在对估计量的评价问题，评价标准主要有三条：

(1)无偏性即

(2) 有效性(最小方差性) 若和都是的无偏估计量，如果则称比有效。若在的一切无偏估计中，的方差最小,称为的最小方差无偏估计量；

(3)一致性(相合性) 设是的估计量，若依概率收敛于，即对任意，有则称是的一致估计量>常用估计量都满足一致性,所以我们在评价估计量时，往往只验证其无偏性与其比较有效性。

区间估计

区间估计是构造一个区间，推断参数的真值以某个概率落在这个区间内。这个概率称为“区间的置信水平”。这个区间，称为“置信区间”。例如已知一个正态分布，它的平均数为μ，方差为α2。反复抽取数据个数为n的样本直至无数次，由中心极限定理可知，这些样本的平均数x形成一个以总体平均数μ为平均数。方差为α2/n的正态分布。根据正态分布性质，对任意一个样本的平均数x，可有的概率。这个关系完全等价于的概率。总体平均数是未知的，x的值可以从我们抽取的某个样本中求出，则从上式推断总体平均数μ将在0.95的概率水平上落在区间内，这就是总体平均数的置信区间。在这区间的上下限中，总体的方差α2一般也是未知的，我们仍要用样本资料对它进行点估计，并在实际构造置信区间时，不一定用正态分布而用t分布等其他分布，使得推断更为可靠。

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