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统计决策函数

统计决策理论的基本概念

统计决策函数(statistical decision function)亦称判决函数，是统计决策理论的基本概念之一。统计推断的任务就是建立一个定义于样本空间X上，取值于决策空间D内的函数δ(x)，使当有了样本X时，就采用判决δ(x)，这种函数称为非随机化的统计决策函数。若对每个样本X，有决策空间(D，BD)上的概率测度δ*(x)与之对应，则称δ*(x)为随机化的决策函数。通常，决策函数是指非随机化的决策函数。

基本介绍
对于一个统计决策问题，可以从样本空间到决策空间建立一个对应规则，可看作定义在样本空间上，取值于决策空间内的函数，称其为统计决策函数。
给定了一个统计决策问题，即给定了一个参数统计模型(样本空间及样本的分布族)、决策空间与损失函数，自然希望对样本空间中的每一个点指明一个决策，这样一个规则是定义在样本空间上，取值在决策空间上的一个函数，称这个函数为(统计)决策函数，记作。在不致引起误解的情形下，也称为决策函数，它表示在得到样本观测值时，采取决策。易见，本质上是一个统计量。 决策函数是所给定的统计决策问题的一个解。
例1 总体是总体X的一个样本，为未知参数，参数为已知。参数空间为。在点估计中，用样本均值作为的估计量，所以，关于的每一个取值都代表一个对参数的决策，统计决策空间为。在区间估计中，若采用置信区间，则区间代表一个对参数的决策，统计决策空间为
其中，。值得注意的是，在中具体选取哪个决策与抽取的样本和所采用的统计方法有关。
在次例的点估计中，统计决策函数为
在区间估计中，统计决策函数为
也称为统计决策函数。它可看成在得到样本观测值时，
采取决策，实质上，统计决策函数是一个统计量。
统计决策函数的风险函数
给定一个决策函数之后，所采取的决策依赖于样本观察值，对应的损失函数也依赖于样本观察值。观察值不同，所采取的决策不同，对应的损失函数也不同。因此，不能依赖样本的一次观察值所采取的某个决策而带来的损失来衡量决策的优劣，而要从总体上来评价。一个常用的数量指标是平均损失，称
为决策函数的风险函数。
决策函数的风险函数表示当参数值为时，采取决策d所产生的平均损失。风险越小，损失越小，决策函数就越好。当决策函数给定时，风险函数是的函数。比较两个决策函数和的优劣，可通过比较其风险函数。
等价决策函数
设和是统计决策问题中的两个决策函数，对任意，如果其风险函数满足不等式
且存在一些，使上述严格不等式成立，则称决策函数一致优于。对任意，如果其风险函数满足等式，则称决策函数等价于。
一致最小风险决策函数
设是一切定义在样本空间上取值于决策空间上的决策函数的全体，如果存在一个决策函数，使对任意和对任意，都有
则称决策函数为一致最小风险决策函数或一致最优决策函数。
等价决策函数和一致最小风险决策函数都是对同一个给定的损失函数而言的，损失函数不同，相应的结果也随之改变。
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