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缓和曲线

数学术语

缓和曲线指的是平面线形中，在直线与圆曲线、圆曲线与圆曲线之间设置的曲率连续变化的曲线。缓和曲线是道路平面线形要素之一，它是设置在直线与圆曲线之间或半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的一种曲率连续变化的曲线。《公路工程技术标准》（JTG B01-2014）规定，除四级路可不设缓和曲线外，其余各级公路都应设置缓和曲线。在现代高速公路上，有时缓和曲线所占的比例超过了直线和圆曲线，成为平面线形的主要组成部分。在城市道路上，缓和曲线也被广泛地使用。

缓和曲线的作用
缓和曲线的作用：
1、缓和曲率——使曲率连续变化；
2、缓和超高——使横向坡度连续变化；
3、缓和加宽——使车道加宽连续变化。
缓和曲线产生的效果：
1、曲率连续变化，便于车辆驾驶；
2、离心加速度连续变化，没有突变，乘客感觉舒适；
3、超高横坡度及加宽逐渐变化，行车更加稳定；
4、与圆曲线配合，增加线形美观。
缓和曲线长度
由于直线与圆曲线间存在曲率半径的突变，圆曲线半径越大，这种突变程度就越小。当圆曲线半径超过2000m时，这种突变对轨道交通行车影响很小。而当正线上曲线半径不大于2000m时，则要在圆曲线与直线间加设缓和曲线，实现曲率半径的逐渐过渡，减少列车在突变点处的轮轨冲击。因此，《地铁设计规范》（GB50157—2003）规定：“线路平面圆曲线与直线之间应根据曲线半径、超高设置及设计速度等因素设置缓和曲线，其长度可按表的规定采用。”
地铁缓和曲线长度
缓和曲线线型
缓和曲线的线型多种多样，如回旋线、三次抛物线、七次四项式型、半波正弦型、一波正弦型、双纽线、多心复曲线……
我国常用的线型有两种：三次抛物线、回旋线。其中三次抛物线是回旋线的近似结果。
三次抛物线
铁路上常用的缓和曲线是三次抛物线型。其方程式为：
上式中 是三次抛物线参数，它越大缓和曲线越缓。它近似的等于圆曲线半径乘以缓和曲线长度，即
三次抛物线型缓和曲线的优点是铺设和养护维修比较容易，缓和曲线长度比较短；其缺点是始、终点存在折角，影响行车的平稳性。
回旋线
公路、匝道常用的缓和曲线是回旋线，也叫放射螺旋线。回旋线不仅线形美观，而且与驾驶员匀速转动方向盘由圆曲线驶入直线或者由直线驶入圆曲线的轨迹线相符合。
回旋线的本质特征是：
即曲率 随弧长 线性变化；
表示曲率随弧长的增大而增大或减小；
是回旋线参数。它是圆曲线半径 R 与缓和曲线全长 的几何平均值，单位为米。对于一条缓和曲线而言，它是一个常数。A 越大，说明曲率变化越慢，曲线拐弯越缓；A越小，说明曲率变换越快，曲线拐弯越急。
曲线要素
实地放样缓和曲线之前，需要计算若干曲线要素：
不同类型的缓和曲线，数值不同
不同类型的缓和曲线，数值不同
不同类型的缓和曲线，数值不同
上面的公式中
——路线偏转角，单位：弧度。这是设计数据；
R——圆曲线半径，单位：m。这是设计数据；
——缓和曲线偏转角，单位：弧度；
p——内移距，单位：m；
q——切线增长，单位：m；（有些文献用 m 表示该变量）
T——切线长，单位：m；
E——外距，单位：m；
D——切曲差，即切线长减去曲线长，单位：m；
注意： 的计算公式请见下文，每种类型的缓和曲线都有自己的计算公式。
[式中 α 为路线设计参数，R值对于设计道路可查相关规范]
详论回旋线
回旋线最本质的特点就是
为了确定上式的正负号，需要对曲率的正负号取值做个约定
曲率符号
数学上曲率的定义为 ，即曲率是前进方位角T随弧长l的变化率。
在 的情况下，若 则k取正值，若 则k取负值。
下图分四种情况，对曲率的正负号取法进行了说明：
曲率半径是曲率的倒数，其符号与曲率一致。
曲率变化率
公式 中，参数A无法反映出曲率随弧长增大，到底是增大还是减小？为此引入常量a，它满足下式
a就是曲率变化率，它可能是正数，也可能是负数。
a与A的关系满足公式
为了说明a的符号，以及它与A的关系，请见下图
在测量坐标系下K0+000处的曲率为-1/100(左转为负)，K0+150处的曲率为1/50（右转为正）。可知：
曲率变化率 参数
在数学坐标系下K0+000处的曲率为1/100(左转为正)，K0+150处的曲率为-1/50（右转为负）。可知：
曲率变化率 参数
微分方程通解
求解微分方程 可得
曲率k随桩号L变化的函数为 。当 时
前进方向T随桩号L变化的函数为 。当 时
坐标随桩号L变化的函数为（用到了复数）：
当 时
特别的，当 时
微分方程特解
当 时，令 ，则
这个特解与通解相比，简化了不少。它的含义其实就是在曲率为零的地方建立坐标系。如下图所示，在直缓点建立了坐标系：
x轴是回旋线的切线，其正方向是桩号增加方向；y轴是回旋线的法线，在x轴的左边就是数学坐标系，在x轴的右边就是测量坐标系。
从原点开始沿回旋线行走距离 ，到达点P，其坐标为(x，y)。
点 P 处的切线与轴夹角为 ，称其为切线角，也是点 P 处的前进方位角。
原点与点 P 的连线叫弦，其长度为c，也就是弦长。
原点到点 P 的方位角为 ，也就是偏角，也叫弦切角。
点 P 处，切线与弦线的夹角为
从原点开始沿回旋线行走距离 ，到达缓圆点HY，即回旋线的长度为
圆曲线的半径为R
在缓圆点处达到最大值
接下来，计算各个参数：
曲率变化率
参数
曲率
曲率半径
切线角
最大切线角
坐标
弦长的计算公式如下：
弦切角的计算公式如下：
注意： 亦即弦切角近似的等于切线角的三分之一。
要素
回旋线的曲线要素计算公式如下：
道路正算
回旋曲线段，根据桩号 L，距中 Z，计算前进方向 T 及坐标 x，y的公式如下：
上式需要一个起算点，即需要知道桩号 处的 。也可以从曲率为零的点开始起算，根据 可知：当 时曲率为零。 是回旋线上任意一点的桩号和曲率。
距中 Z 的正方向是前进方向 T 加上90°，因此：
在数学坐标系下，距中 Z 左正右负，即在回旋线沿桩号增加方向右侧取负值；
在测量坐标系下，距中 Z 左负右正，即在回旋线沿桩号增加方向左侧取负值。
详论三次抛物线
参数C
参数 C 按下式计算：
更高次项的系数，请见下表
上式中，R 是圆曲线的曲率半径。它是有正负号的，具体取法请参考前文； 是缓和曲线长度，注意它也是有正负号的：顺着前进方向为正，逆着前进方向为负。现举例说明，如下图所示
以ZH点为原点的坐标系是测量坐标系，将根据 HY 点计算C。从 ZH 至 HY（桩号增加的方向）右转，因此HY处的曲率半径 R 取正值。HY 点的桩号比 ZH 点的桩号大，所以 Ls 也取正值。最终 C 为正值。
以HZ点为原点的坐标系是数学坐标系，将根据 YH 点计算C。从 YH 至 HZ（桩号增加的方向）右转，因此YH处的曲率半径 R 取负值。YH 点的桩号比 HZ 点的桩号小，所以 Ls 也取负值。最终 C 为正值。
注意：使用上述规则时，要求x 轴必须是切线，而且其正方向是桩号增加的方向。
更为一般的计算公式为：
上式中： 是三次抛物线上任意一点的曲率半径， 是该点的桩号减去曲率为零点的桩号。
坐标 x
坐标 x 按下式计算
更高次项的系数，请见下表
坐标 y
坐标y 按下式计算
更高次项的系数，请见下表
曲率
曲率按下式计算：
更高次项的系数，请见下表
曲率半径
曲率半径等于曲率的倒数
切线角
切线角按下式计算：
更高次项的系数，请见下表
最大切线角
最大切线角按下式计算
更高次项的系数，请见下表
弦长
弦长按下式计算
更高次项的系数，请见下表
弦切角
弦切角按下式计算：
更高次项的系数，请见下表
最大弦切角
最大弦切角按下式计算
更高次项的系数，请见下表
要素
更高次项的系数，请见下表
更高次项的系数，请见下表
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