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罗尔中值定理

三大微分中值定理之一

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。 罗尔定理描述如下：如果 R 上的函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在开区间(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

罗尔定理的证明
证明：因为函数在闭区间上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 和 表示，分两种情况讨论：
1. 若，则函数 在闭区间 上必为常函数,。
2. 若 ，则因为 使得最大值 与最小值 至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，又条件 在开区间内可导得， 在 处取得极值，由费马引理，推知：。
几何意义
若连续曲线 在区间 上所对应的弧段 ，除端点外处处具有不垂直于 轴的切线，且在弧的两个端点处的纵坐标相等，则在弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于轴。
罗尔定理的推广
（1）有界开区间上的有界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有 ，则至少存在一个 ，使得 。
（2）有界区间上的无界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个 ，使得 。
（3）无界区间上的有界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有，则至少存在一个 ，使得 。
（4）无界区间上的无界函数
若函数 在区间 上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个 ，使得 。
（5）半无界区间上的有界函数
若函数 在区间连续且可导，并有 ，则至少存在一个 ，使得 。
（6）半无界区间上的无界函数
若函数 在区间上连续且可导，并有 （或 ），则至少存在一个 ，使得 。
范例解析
用罗尔中值定理证明：方程在内有实根。
证明： 设,则在上连续，在内可导，所以由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，所以，所以ξ是方程在内的一个实根。结论得证。
提出时间
罗尔定理原是罗尔1690年确定多项式的根的位置时所加的一个注,后人在此基础上发展起来，罗尔本人并未明确给出并证明它。该定理断言：设是实系数多项式, 的导式在的两个相邻的实根之间有奇数个实根.罗尔于 1691年在他所著的《方程的解法》书中提出。后人把它推广到是一般的可微函数的情形。
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