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耿贝尔分布

用于最大风速的计算

耿贝尔 (Gumbel) 分布是指有一种用理论根据的频率曲线来计算 “多年一遇” 海洋水文气象要素的常用方法。这种算法在西方有些国家得到较为广泛的应用。耿贝尔分布被广泛运用于最大风速的计算当中。

定律定义
耿贝尔分布是根据极值定理导出。由费雪 (R. A. Fisher) 和蒂培特 (L. H. C. Tippett) 于 1928 年发现，各个样本的最大值 X 的概率分布函数趋于广义极值分布
其中 k 为形状参数，μ 为中心参数，σ 为展宽参数。称 k → 0 的分布为耿贝尔分布，也叫做第 I 类极值分布。此时分布函数趋于双指数形式 P(X < x) = exp (-exp [-(x – μ) / σ])，x 的定义域是 (-∞,+∞)。一般地，x 的定义域为 1 + k (x – μ) / σ > 0.
第 I 类极值分布 (k = 0) 下，最大值分布的尾巴是指数分布，即 P(X < x) ≈ 1 – exp [-(x – μ) / σ], x – μ >> σ.
第 II 类极值分布 (k > 0) 下，最大值分布的尾巴是幂律分布，即 P(X < x) ≈ 1 – [1 + k (x – μ) / σ]-1/k, x – μ >> σ.
第 III 类极值分布 (k < 0) 下，最大值分布有上确界 xm = μ + σ / |k|，满足 P(X < x) ≈ 1 – [|k| (xm – x) / σ]1/|k|, x → xm.
水文方面主要用第 I 类渐近极值分布，是耿贝尔在 1941 年将此分布应用于洪水频率分析工作，所以也称 Fisher-Tippett 型分布。广义极值分布的形状参数 k 则考虑了最大值分布为指数尾巴、幂律尾巴、有上界的各种情况，可作为一个更通用的模型来拟合数据。例如地震的能量和发生概率之间就是一个幂律分布关系，属于第 II 类渐近极值分布。
适用范围
耿贝尔分布主要是适用于对海洋、水文、气象，来计算不同重现期的极端高（低）潮位。海洋的年最高水位可以认为是由天文潮和许多随机因子的影响形成的。因此，它可以用耿贝尔极值 I 型分布函数进行拟合。
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