能量法

能量原理

能量法(energy method)又称能量原理，是对互等原理、卡式原理、虚功原理、单位载荷法及摩尔积分法等众多与功和能量相关方法的统称，是固体力学中的一种重要方法，常用来解决弹性构件的静力学问题。

应变能

固体力学中元件的能量主要指应变能，弹性体在受力发生拉伸、压缩、剪切、扭转及弯曲等变形时，外力做功会转化为元件的变形能储存起来，且应变能在数值上等于外力所做的功，即：。而且弹性固体的应变能是可逆的，即当外力逐渐解除时、变形逐渐消失时，弹性固体又可释放出全部的变形能而做功，由于静力学中的施力与变形均为假想的缓慢过程，故忽略了变形过程中的能量损失（生热等）。

应变能的统一形式的公式为：

其中，为应变能密度，为广义应力（力，矩），为广义应变（正应变，切应变）。

但根据各种变形不同的特征，每种变形都对应各自的应变能公式。

(1) 拉伸和压缩：，其中，为拉压弹性模量（杨氏模量），为横截面积，为轴力。

(2)扭转：，其中，为扭矩，为抗扭刚度，为极惯性矩。

(3)弯曲：，其中，为处的弯矩，为对中性轴的惯性矩。

常用的能量法

在固体静力学的研究过程中，互等原理、卡式原理、虚功原理、单位载荷法及摩尔积分法等均为常用的能量法，其对构件的变形计算及超静定结构的求解起着重要的作用。

互等定理

对于线性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位移互等定理。它们在构件的结构分析中起着重要作用。

对某线弹性体，先于A点施加力，引起A位移为，再于B点施加力，引起B位移为，同时又引起A位移为；若施力顺序改变，先于B点施加力，引起B位移为，再于A点施加力，引起A位移为，同时又引起B位移为，因两次施加力的情况完全一样，故两次做功相等。

第一次做功：；第二次做功：

所以，有，即：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功的互等定理。

若，就能得到，即：作用点由引起的位移等于作用点由引起的位移，这就是位移的互等定理。

注：上面的力与位移都是广义的，也就是说，力既可以表示一组力也可以表示力矩，位移可以表示为转角。

卡氏定理

和互等定理的推导相似，一组力作用于弹性构件，引起对应位移为，且总应变能为，若某一力有一微小增量，则总应变能变为：。

现改变施力顺序，先施加小量，再施加一组力，则现在的应变能与原来相等，故：

忽略二阶小量，得出卡氏定理表达式：

即：应变能对力的偏导数等于该力作用点的位移。

以弯曲为例，将弯曲应变能公式带入可以得到弯曲变形的卡氏定理：

利用卡氏定理可以直接由一组力求出任意受力位置的位移，方便而快捷。

虚功原理

平衡系统由于其它原因（如其它外力或温度变化）引起的位移变化称为虚位移，“虚”表示由其它因素造成，以区别于因原有的外力所造成的位移。在虚位移中，元件的原有外力保持不变。

虚位移函数应为连续函数，而且内力在截面上等大反向，故内力对虚位移做的功相互抵消。而原有外力在虚位移上的功成为虚功，可以表示为：

和实功一样，虚功还有一种表达形式，即用虚应变能来表示，而虚应变能可以表示为原有内力和虚变形的乘积，即：

由于外力做的虚功等于虚应变能，将上面两式相等，即可得到虚功原理的表达式：

单位载荷法

将虚功原理中的原有内力换成单位力，即为单位载荷法。单位载荷法是虚功原理的应用，方法简单，可以直接求出任意位置的位移。

如图1，想要知道力在A点引起的a-a方向的位移（此处力与位移都是广义量），可先不加力，而是在相同作用点相同作用方向施加单位力1，引起的轴力、弯矩与剪力分别为，而将力引起的位移视为为虚位移。

带入虚功原理可得：

摩尔积分法

若材料是线弹性的杆件或可分割为若干个杆件的叠加，可继续在单位载荷法的基础上推导得出摩尔积分法，从而得到线性杆件在发生弯曲、拉伸及扭转变形时广义位移的直接计算公式。

对于线弹性杆件，其弯曲、拉伸和扭转变形分别是：

带入单位载荷法的公式中就可以得到广义位移：

这就是摩尔积分法，是解决线性杆件变形位移问题的最为简单直接的方法，也是最常用的方法之一。

意义

互等原理、卡式原理、虚功原理、单位载荷法及摩尔积分法等众多与功和能量相关方法，是固体力学中的一种重要方法，常用来解决弹性构件的静力学问题。

其避免了直接利用力与变形的关系进行积分运算的复杂过程，而是从能量角度出发给出更为简洁而统一的运算形式，对构件的变形计算及超静定结构的求解起着尤其重要的作用，运用能量法，还可以解决一般方法难以解决的动载荷问题及压杆稳定问题。而且能量法形式统一、方程固定的优点使其适应于编程计算，随着计算力学的崛起，能量法更加受到重视。

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