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自伴算子

数学术语

在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴算子(self-adjoint operator)等于自己的伴随算子；等价地说，表达自伴算子的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。

概念
在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴算子(self-adjoint operator)等于自己的伴随算子；等价地说，表达自伴算子的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。
基本原理
定义：设 是 空间 上的稠定线性算子，如果 ⊂ ，则称 为对称算子；如果 ，则称 为自伴算子。
例子：设 为 上的 平方可积函数空间，即 ，在 上定义算子 如下：
={ 在 绝对连续， }，
则 。定义算子
显然有 ⊂ ⊂ 。下面来证明
根据这个结果可知 ⊂ ⊂ ，故是对称算子，是对称算子的自伴扩张，但作为扩张的满足⊃，从而并非对称的。
下面证明。注意到，，其中有
因此，⊂，即⊂，⊂，⊂。
其次，设，，，对于，有
即
当或时，因包含非零常数，故由上式可得。当时，。这样，总有
因而
当时，因，故。又因，故。这样，，即⊂。
对，当时，，故而
因而，是由常值函数组成的一维子空间。这样，
当时，因，故，即，所以，即⊂。
当时，由得是绝对连续函数，，从而，这样⊂。证毕。
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