自同态

从一个数学对象到它本身的态射

自同态是指从群胚、幺半群、群、环到其自身中的同态、向量空间在自身中的线性映射等等。

基本概念

同构

两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射,并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题,从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。

同态

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤，称从E到F中的映射是群胚同态，如果对于E的任一元素偶有 ( ⊥ )= ⊤ ，设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射，是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素， (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态，而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而为G的元素，由关系所定义的从加法群Z到G中的映射是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射是环(体)的同态，如果是加法群的同态，且为乘法么半群的同态，这就是说，对A的任一元素偶，有

并且将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数，使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态，设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)，称从E到F中的映射是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态.。例如,设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基，则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

自同态的定义

自同态是已知集合(群、环、代数)到其自身保持代数结构的映射，例如线性空间到某半空间的射影就是线性空间的自同态，它保持了向量的加法运算和数乘运算。设G为关于加法的交换群，赋以加法及法则的G的全体自同态之集是一个环；设E为交换体K上的向量空间，赋以法则， E的全体自同态之向量空间是酉代数，记为ℒ(E)，或End(E)，元素仍记为gf，A-模的情形是类似的。

群的自同态

设是G到G本身的一个同态(或同构)，则称是G上的一个自同态(endomorphism)(或自同构(automorphism))，G上的所有自同态的集合对变换的复合构成—-个含幺半群，称为G上的自同态半群(endomorphism semigroup)，记作EndG，G上的所有自同构的集合对变换的复合构成一个群，称为G上的自同构群(automorphism group)，记作AutG。

在群G中，取定一个元素，定义G上的一个变换为：对任何有，则是G上的一个自同构，这个自同构称为一个内自同构(inner autmorphism)，G上的全体内自同构构成一个群，称为内自同构群(inner automorphism group)，记作InnG，即

内自同构群有以下性质。

定理设G是群，则

（1）

（2）

其中C为G的中心。

下面通过一些例子来说明如何确定一个群的自同态半群或自同构群。

例1 设Z是整数加群，试确定AutZ。

解: 设是Z的任一自同构，并设 (1)=k，则对任意有，因为是满射，故存在，使，由此得k=1或k=-1，也就是说，只有以下两个映射才有可能是同构映射：

不难验证与确是Z上的同构，所以。

通过这个简单的例子可以说明如何确定一个群G的全部自同构(或自同态)，首先分析任意一个自同构(或自同态) 的性质，主要是分析G的生成元在下的像，从而决定所具有的约束条件，根据这个约束条件写出全部自同构(或自同态)。在表达方法上，最后得到的不同的自同构(或自同态)应用不同的映射记号(例如 )表示，对每一个映射给出的一般表达式。

环的自同态

设A和A’是两个环，若有一个A到A‘’的映射满足以下条件：对任何有

则称是一个A到A'的同态。我们把上式称为保持环中的运算。

如果是单射，则称是一个单同态；

如果是满射，则称是一个满同态．这时，记作；

如果是双射，则称是A到A'的一个同构．这时记作。

当是单同态时，，称将A同构嵌入到A'中。

一个A到A本身的同态，称为A上的自同态，一个A到A本身的同构，称为A上的自同构。环A上的全体自同构关于映射的复合构成群，称为环A上的自同构群，记作AutA。

例2 设A，A'是两个环，定义映射，对任何x∈A，则是A到A'的一个同态，且同态像为，此同态称为零同态，是任何两个环之间都存在的一个同态。

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