自然坐标

理论力学术语

理论力学中对沿曲线运动的质点, 常把其加速度矢量a 分解为沿轨道的切线方向和法线方向的两个分量，如果把轨道的切线和法线也作为坐标系来看; 则叫自然坐标系。

简介

定义

自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的坐标系，在质点运动轨道上任取一点作为坐标原点O，质点在任意时刻的位置，都可用它到坐标原点O的轨迹的长度来表示，

在自然坐标系中，两个单位矢量是这样定义的：

1、切向单位矢量，沿质点所在点的轨道切线方向；

2、法向单位矢量，垂直于在同一点的切向单位矢量而指向曲线的凹侧。可见这两个单位矢量的方向，也是随质点位置的不同而不同的。

质点运动时，如果只有切向加速度，没有法向加速度，那么速度不改变方向而只改变大小，这就是变速直线运动。如果只有法向加速度，没有切向加速度，那么速度只改变方向而不改变大小，这就是匀速曲线运动。

自然坐标系不仅适用于平面运动，也可以用于三维空间的运动。不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量。

本质

自然坐标系是一种动坐标系，本质上是一个质心坐标系(因为只有一个质点)，它随着质点的运动而运动。其坐标原点为质点所在位置，3个坐标轴分别为切线轴t、法线轴n和副法线轴b。切线轴t的正向单位矢量i规定为质点绝对速度的方向，因为质点某时刻的绝对速度是客观唯一的;法线轴n的正向单位矢量j规定为由质点沿法线指向曲率圆圆心的方向，显然质点某时刻所行的曲率圆的圆心也是客观唯一的;副法线轴b的正向单位矢量k规定为k=i×j，即自然坐标系3个坐标轴tnb恰好组成一右手直角坐标系。

坐标

坐标是决定质点在空间位置的一个数或一组数。当质点沿直线运动时，依该直线建立数轴，取质点初始位置为坐标原点，则只需一个数就可确定质点在t时刻的位置，这个数就是质点在t时刻的坐标。当质点沿平面曲线(非直线)运动时，需要两个数才能确定质点在t时刻的位置，这两个数就是质点在t时刻的坐标。当质点沿空间曲线(非平面曲线)运动时，需要三个数才能确定质点在t时刻的位置，这三个数就是质点在t时刻的坐标。当坐标系选定后，质点在t时刻的位置与坐标具有一一对应关系，一个坐标决定且只能决定一个位置，一个位置对应且只能对应一个坐标。显然只有坐标系确定以后，才有质点的坐标。若坐标系不确定，则质点的坐标就不可能存在。这里的坐标系是绝对静止坐标系，它本质上是一个空间的标架，有了它，宇宙中任何一点的位置都可以唯一地确定。

自然坐标法

假设在空间中给定一条曲线，点P沿着该曲线运动，为了确定点P在该曲线的位置，我们在曲线上任取一点O1作为弧长计算的参考起始点，并给定一个方向为正方向。点P的每个位置对应着自己的弧长r，就像直角坐标轴上每个点都对应一个坐标值一样。r取正值或者负值取决于弧长的参考方向，弧O1P的长度等于|r|，如果r=r（t）是时间t的已知函数，则P点的运动就是给定的，这样确定点的运动的方法称为自然坐标法。

应用

用自然坐标法来模拟和解决多体系统的动力学问题，推导出几类典型刚体的广义质量阵和对应的广义外力。

多体系统不同形式的动力学模型主要取决于模拟系统的坐标选择。在IMP等程序中采用相对坐标，即系统中的运动副或连接处所允许的相对运动所对应的坐标，其优点是描述系统所需的坐标数少。但由于运动约束是由回路闭合条件给出，因此计算复杂。在ADAMS和DADS等程序中采用参考点坐标，即每一刚体的位置由其质心坐标和刚体的方位决定，但通常描述系统所需坐标数目很大。当方位用欧拉角表示时(如ADAMS中)，有时会出现解的奇异性，造成数值计算困难。虽用欧拉参数表示方位(如DADS中)能避免解的奇异性，但增加了坐标数，且物理意义不明确。近几年，vilallonga和GaricadeaJln等提出了自然坐标法困，即用感兴趣点的笛卡尔坐标和有关单位向量的三个笛卡尔分量来模拟刚体。此法描述系统直观，引进约束方程方便，且常常是二次或线性的，因不引入角坐标，能避免解的奇异性，所需的坐标数适中，方法简便。各类刚体的广义质量阵和对应的广义外力的形式规则，数值计算过程简单，易于编程。

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