自然底数

数学名词

对于数列{ ( 1 + 1/n )^n }，

来源

历史上误称自然对数为纳皮尔对数，取名于对数的发明者——苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier A.D.16-17)。纳皮尔本人并不曾有过对数系统的底的概念，但它的对数相当于底数接近1/e的对数。与它同时代的比尔吉(J.Burgi)则创底数接近e的对数。

计算

通过二项式展开，取其部分和，可得e的近似计算式

e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!，n越大，越接近的真值。

其中最后一项为余项，它控制计算所需达到的任意精度。

P.S. e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 （取1000位）

2.利息中的e

我们的主角e，就是超越数，既然理解e的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关。e和圆周率π都是超越数，π的含义可以通过下图的割圆术来很形象的理解。假设等边形的最长对角线长度为1，只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。

但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子，幸好在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直观的图，只要理解了这个例子，e的含义就明白了。

假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！

银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元

银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元

假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元

假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元

假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元

这个数越来越接近于e了！

哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！对！

1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，有兴趣的同学可以用计算器算一下。

我们和圆周率再做个对比：

●多边形的边数和利滚利的次数是相似的。

●对角线为1的n边等边形，n趋于无穷，周长就无限接近于π，即π是周长的最大值。

●年利率为1（100%）的1元存款，利滚利的次数n趋于无穷，存款就无限接近e，即e是存款的最大值。

换种表述方法：

●每个完美的圆，其周长都是π的倍数；

●每个理想的存款，其余额都是e的倍

按照自然的观点，如果圆是最美的，那最赚钱的也是最理想的。

3.微积分中的e

有人说：我不懂微积分，估计看不懂！

没关系！你可以这样理解，积分是升维的过程，微分是降维的过程。

例如：

把一张张纸叠起来变成厚厚的词典，这是从2维变成3维的升维，这是积分；

把一大块羊肉，切成一片片羊肉片，就是从3维为变2维的降维，这是微分。

在微积分中，底数为e的指数函数ex，其导数还是这个函数ex，也就是不论求多少次导数，其导数就像一个常量一样永远是恒定的。不知道别人的感觉如何，反正我第一次知道时是很惊奇的。

举个例子：

就好像你切掉孙悟空的一部分，你以为是一小片肉，睁眼一看，居然是另一个孙悟空，而且一样大！

这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了！

下面就是y=ex在直角坐标系中的样子

4.对数的底数

对数中最常用的底数是10、2和e

为什么要以10为底数？

因为我们使用10进制，数量级和科学计数法也是10的倍数。所以10x的逆运算，以10为底的对数 lg x最常用、最方便，所以又称常用对数。

10进制是数字表示法中最容易普及的，根源是我们有10个手指，人们初学数字时都喜欢借助10个手指学习1、2、3……10。到了学加减运算时，更是喜欢借助手指计算。不仅老师认为这样教学直观，学生也认为这样练习方便。通过教育，这个强大的习惯，被最广泛的传播和固化下来。但如果是8个腕足的章鱼发展出了文明，可能更喜欢8进制。

为什么要以2为底数？

因为2倍或成倍式的增长，即2x，是我们日常中最简单的指数式增长。我们经常说数量成倍、翻倍、翻番、翻两番，都是2倍率的增长。所以2x的逆运算，底数为2的对数 lb x 也会比较常见。

虽然对数的底数2和10是人们使用体验和认知体验最好的对数，但是在数学中，这两个数却是不自然的，因为都是在方便人的需要。

为什么e被称为自然底数？

用e做底数的对数表达方式是 ln x

前面在讲“利息中的e”时，曾拿π和e做过对比。

●边数越多越接近圆，利滚利越多越接近最大收益

●一个对角线为1的多边形，其周长最大值是π

●一个本金为1利率为1的存款，其存款余额的最大值是e

按照古希腊的自然思想来看：

●对于一个完美的圆来说，π才是自然的，是圆本身的属性，尽管从数值上是一个“无理”的数。

●对于最快速的指数增长来说，e才是自然的，这是指数增长本身的属性。