自由度

物理学的自由度

自由度是指物理学当中描述一个物理状态，独立对物理状态结果产生影响的变量的数量

基本介绍

在力学里，自由度指的是力学系统的独立坐标的个数。力学系统由一组坐标来描述。比如一个质点在三维空间中的运动，在笛卡尔坐标系中，由 x,y,z 三个坐标来描述；或者在球坐标系中，由 r,θ,ψ三个坐标描述，一般而言，N 个质点组成的力学系统由 3N 个坐标来描述。但力学系统中常常存在着各种约束，使得这 3N 个坐标并不都是独立的。对于 N 个质点组成的力学系统，若存在 m 个完整约束，则系统的自由度减为

s=3n-m。

比如，运动于平面的一个质点，其自由度为 2。又或是，在空间中的两个质点，中间以线连接。所以其自由度

s=3x2-1=5。

( 2 个质点有 3 个位移方向，但具有一条线所形成的约束)

若该系统除了存在m个完整约束外，还存在k个非完整约束，则系统的自由度减为

s=3n-m-k

除了平移自由度外，还有转动自由度及振动自由度

完全确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标的数目，叫做这个物体的自由度。力学系统由一组坐标来描述。

据热力学中的能量均分定理，每个自由度的能量相等（当然没考虑量子效应啦），都为Tk/2（振动包括动能和势能，所以振动能量为（Tk/2）*2）。

单原子分子仅有3个平动自由度，所以分子平均能量为3Tk/2；

非刚性双原子分子有3个平动自由度、2个转动自由度、1个振动自由度，所以分子平均能量为(3+2+1)Tk/2=6Tk/2；

非刚性n原子分子共有3n个自由度（n为原子个数，n＞2），包括3个平动自由度、3个（非线性分子，如H2O）或2个（线性分子，如CO2）转动自由度、3n-6个（非线性分子）或3n-5个（线性分子）振动自由度，所以分子平均能量为(6n-6)Tk/2或(6n-5)Tk/2；

刚性分子则不用考虑振动。

但不能说每个分子的能量都是iTk/2，这是统计规律。

质点自由度

（1）一个质点在空间任意运动，需用三个独立坐标（x，y，z）确定其位置。所以自由质点有三个平动自由度 i = 3。

（2）如果对质点的运动加以限制（约束），自由度将减少。如质点被限制在平面或曲面上运动，则 i= 2；如果质点被限制在直线或平面曲线（不是空间曲线）上运动，则其自由度 i = 1。

刚体自由度

一个刚体在空间任意运动时，可分解为质心 O’ 的平动和绕通过质心某直线的定轴转动，它既有平动自由度还有转动自由度。确定刚体质心O’的位置，需三个独立坐标（x，y，z）—自由刚体有三个平动自由度 t = 3；

确定刚体通过质心轴的空间方位──三个方位角（α，β，γ）中只有其中两个是独立的──需两个转动自由度；另外还要确定刚体绕通过质心轴转过的角度θ──还需一个转动自由度。这样，确定刚体绕通过质心轴的转动，共有三个转动自由度 r = 3。所以，一个任意运动的刚体，总共有6个自由度，即3个平动自由度和3个转动自由度，即i = t + r = 3 + 3 = 6

分子自由度

自由度是物体运动方程中可以写成的独立坐标数，单原子分子有3个自由度，双原子、非线性三原子、线性三原子不考虑振动相当于刚体，分别有5个（3平2转）、6个（3平3转）、5个（3平2转）自由度，考虑振动后，双原子加1个，非线性三原子加3个，线性三原子加4个。

（1）单原子分子：如氦He、氖Ne、氩Ar等分子只有一个原子，可看成自由质点，所以有3个平动自由度 i = t = 3。

（2）刚性双原子分子如氢、氧、氮、一氧化碳CO等分子，两个原子间联线距离保持不变。就像两个质点之间由一根质量不计的刚性细杆相连着（如同哑铃），确定其质心O’的空间位置，需3个独立坐标（x，y，z）；确定质点联线的空间方位，需两个独立坐标（如α，β），而两质点绕联线的的转动没有意义。所以刚性双原子分子既有3个平动自由度，又有2个转动自由度，总共有5个自由度 i = t + r =3 + 2 = 5。

（3）刚性三原子或多原子分子：如 H2O 、氨等，只要各原子不是直线排列的，就可以看成自由刚体，共有6个自由度，i = t + r = 3 + 3 = 6。若原子直线排列，如CO2等，共有5个自由度，i = t + r = 3 + 2 = 5。

（4）对于非刚性分子，由于在原子之间相互作用力的支配下，分子内部还有原子的振动，因此还应考虑振动自由度（以S 表示）。如非刚性双原子分子，好像两原子之间有一质量不计的细弹簧相连接，则振动自由度 s = 1。对于非刚性n原子分子（n＞2），振动自由度 s = 3n - 6（非线性）或s =3n - 5（线性）。

一般在常温下，气体分子都近似看成是刚性分子，振动自由度可以不考虑。

力学系统由一组坐标来描述。比如一个质点的三维空间中的运动，在笛卡尔坐标系中，由x，y，z三个坐标来描述；或者在球坐标系中，由r，θ，φ三个坐标描述。一般的，N个质点组成的力学系统由3N个坐标来描述。但力学系统中常常存在着各种约束，使得这3N个坐标并不都是独立的。对于N个质点组成的力学系统，若存在m个约束，则系统的自由度为S = 3N - m

注意此处的气体分子自由度与在对气体分子作热力学能量分析的自由度不同，在做热力学能量分析时还应考虑气体之间的势能变化，故会多出一个自由度。

热力学自由度

热力学中，自由度 F 是当系统为平衡状态时，在不改变相对数目情况下，可独立改变的因素（如温度和压力），这些变量的数目叫做自由度数。例如，液态水系统，可以在一定范围内任意改变温度和压力，仍可保持单相的水不变，则该系统的自由度为2，记作F = 2。若系统是液态水与水蒸气平衡共存，如果指定温度，则系统压力必须等于该温度下的水的饱和蒸汽压，否则系统中汽、液两相就会有一相消失，这时压力并不能任意选择，故自由度数为1，即F = 1。也就是说，若系统保持汽-液共存的相态不变，温度和压力两者中只能任意变动一个。因此自由度数实际上是系统的独立变量数。

系统的自由度跟其他变量的关系

F = C - P + n

其中 F：表示系统的自由度

C ：系统的独立组元数（number of independent component）

P ：相态数目

n ：外界因素，多数取n=2，代表压力和温度；对于熔点极高的固体，蒸汽压的影响非常小，可取n=1。

理论值

例题

一容器内装有个单原子理想气体分子和个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T的平衡态时，其内能为：

其中3,5分别为单原子理想气体和双原子理想气体的自由度。

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