波尔查诺-维尔斯特拉斯定理

数学定理

波尔查诺-维尔斯特拉斯定理是指有界数列必有收敛子列。从极限点的角度来叙述致密性定理，就是：有界数列必有极限点。

定律定义

致密性定理：有界数列必有收敛子列。

先介绍子列的概念：在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子列。

根据极限的性质，数列有界是收敛的必要条件，即如果数列收敛，那它一定有界，但反之不一定成立。可是致密性定理却告诉我们，只要一个数列有界，那么它一定会有收敛的子数列。

由于子列收敛，设收敛到常数A，根据极限的几何意义，在A的ε邻域内总有子列的无数个点。而ε是任意正数，这就意味着在A的任何邻域内都有子列的无数个点。所以从点集的角度来描述该定理，则是：有界点集至少有一个聚点（即聚点定理）。

推导过程

致密性定理体现了实数的连续性，与其他体现实数连续性的命题等价。特别地，聚点定理可以看做致密性定理在点集拓扑论中的体现，或者说致密性定理是聚点定理在实数理论中的体现，所以有的书上把这两个定理等同来看待。

下面用实数公理——戴德金定理来证明致密性定理。

设数列{xn}有界，即存在M>0，|xn|≤M。若{xn}中有无穷多项相等，取这无穷多项构成{xn}的一个子列，则该子列为一常数列，而常数列总是收敛的。

若{xn}中只有有限项相等，定义数集A，A中任一元素c满足：在区间(-∞,c]上最多只有{xn}的有限项（注意用词“最多”，这意味着(-∞,c]上可以有{xn}的0项），而区间(c,+∞)上有{xn}的无穷多项。并把A在R中的补集记为B。显然：

①-M-1∈A，M∈B，因此A、B非空；

②A∪B=R；

③对任意p∈A，q∈B，都有p

根据戴德金定理，存在唯一实数ξ，要么它是A中的最大值，要么它是B中的最小值。

取任意ε>0，有ξ-ε∈A，ξ+ε∈B，因此区间(ξ-ε,ξ+ε)有{xn}的无穷多项。这是因为假设(ξ-ε,ξ+ε)只有{xn}的有限项，则根据数集A的构造，在(-∞,ξ-ε]上只有{xn}的有限项，而数列中等于ξ+ε的项最多也只有有限个，于是(-∞,ξ-ε]∪(ξ-ε,ξ+ε)∪{ξ+ε}=(-∞,ξ+ε]上只有{xn}的有限项。所以ξ+ε∈A，矛盾。

由于(-∞,ξ-ε]上只有{xn}的有限项，当ε逐渐减小时，(ξ-ε,ξ+ε)之外的项将逐渐增多。要使(ξ-ε,ξ+ε)仍有{xn}的无穷多项，则n需要足够大，即n越大越可能留在(ξ-ε,ξ+ε)之内，n越小越可能落在(ξ-ε,ξ+ε)之外。

于是，取，则存在正整数，使，即

取，则存在正整数，使，即

……

取，则存在正整数，使

于是就得到数列{xn}的子列，当时，由夹逼定理得，即

这就证明了致密性定理。

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