若尔当代数

数学术语

若尔当代数(Jordan algebra)是20世纪30年代初由物理学家若尔当((Jordan,P.)引出来的，最初的目的是推广量子力学的公式。他们最初被称为“r阶数字系统”，但由Albert（1946年）更名为“若尔当代数”，他开始系统研究若尔当代数。

定义介绍

若尔当代数(Jordan algebra)是一种交换的非结合代数。它满足若尔当恒等式。所谓非结合代数满足若尔当恒等式，是指对它的任意元素x，y，恒有及。任何交换(结合)代数都是若尔当代数。特征数为0的域F上的任意有限维半单的若尔当代数恒可惟一地表为其单理想之直和。对于有限维若尔当代数，理想是可解的、幂零的和诣零的三条件等价。若尔当代数是20世纪30年代初由物理学家若尔当((Jordan,P.)引出来的，最初的目的是推广量子力学的公式。

特殊情况

给定一个关联代数A，可以使用相同的底层加法向量空间来构造若尔当代数。请注意，当且仅当是交换代数时，关联代数才是若尔当代数。如果不可交换，我们可以在A上定义一个新的乘法，使其交换，实际上使它成为Jordan代数。新的乘法x∘y满足：

这定义了一个约旦代数，我们称这些为若尔当代数，以及这些若尔当代数的任何次级代数，特殊若尔当代数。所有其他约旦代数被称为特殊的若尔当代数。 Shirshov-Cohn定理指出，任何具有两个发生器的若尔当代数是特殊的。与此相关，麦克唐纳定理指出，在每个特殊的若尔当代数中，三个变量中具有一个变量中的一个并且消失的三个变量中的任何多项式都消失。

Hermitian 若尔当代数

如果（A，σ）是具有回归σ的关联代数，则如果σ（x）= x和σ（y）= y，则遵循

因此，通过归一化（有时称为隐性元素）固定的所有元素的集合形成的子代数，其有时表示为。

示例

1.一组自相关实数，复数或四元数矩阵满足如下乘法：

形成特殊的若尔当代数。

2.一组3×3自相关矩阵在八次数上，同样满足乘法

是一个二维的，特殊的若尔当代数。这是阿尔伯特代数的第一个例子。

衍生结构代数

约旦代数A的衍生形式是A的同态D，使得D（xy）= D（x）y + xD（y）。导数形成李代数der(A)。约旦身份意味着如果x和y是A的元素，那么将z代入到x(yz)-y(xz)的同态是推导。因此，A和der（A）的直接和可以形成一个称为A，str（A）的结构代数的李代数。

一个简单的例子由Hermitian Jordan代数H（A，σ）提供。在这种情况下，具有σ（x）= - x的A的任何元素x定义了导数。在许多重要的例子中，H（A，σ）的结构代数为A。

正式情况

如果满足一个n个正方形的总和只有在每个单独消失的情况下才能消失，那么实数上的（可能非关联的）代数就被认为是正式的。在1932年，若尔当试图用量化理论来公理化，说任何量子系统的可观测量的代数都应该是一个正式的实数代数，它是可交换的（xy = yx）和幂关联（关联法仅适用于涉及x的产品任何元素x的权力被明确定义）。他证明任何这样的代数是若尔当代数。

并不是每个若尔当代数都是正式的，而是若尔当，冯·诺依曼和维格纳（冯·诺依曼和维格纳）（1934）将有限维正式的若尔当代数归类。每个正式的真正的若尔当代数都可以写成所谓的简单代数的直接总和，它们本身并不是直接的，并不是平凡的。在有限的维度上，简单的正式的若尔当代数来自四个无限的组合，连同一个例外情况：

n×n自相关实数矩阵的若尔当代数如上。

n×n自相关复数矩阵的若尔当代数如上。

n×n自相关四元数矩阵的若尔当代数。如上。

约旦代数由Rn与关系自由产生

其中右侧使用Rn上的通常的内积来定义。这有时被称为自旋因子或Clifford类型的若尔当代数。

如上所述的3×3自相关八次矩阵的若尔当代数（一个特殊的若尔当代数叫做阿尔伯特代数）。

在这些可能性中，到目前为止，似乎自然仅仅使用n×n个复杂矩阵作为可观察的代数。然而，自旋因子在狭义相对性中起作用，所有正式的实际若尔当代数与投影几何有关。

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