若尔当可测集

若尔当提出的测度论

若尔当可测集(Jordan measurable set)是其若尔当内、外容度相等的有界集。有界集A若尔当可测有许多充分必要条件，A的边界的若尔当容度为0是其一。

概念

若尔当可测集(Jordan measurable set)是其若尔当内、外容度相等的有界集。有界集A若尔当可测有许多充分必要条件，A的边界的若尔当容度为0是其一。由此可见，通常的图形如多边形、球形和多面体形区域都是若尔当可测集，但也很容易举出若尔当不可测集来。

可测空间

测度的定义域，测度论中的基本概念。设F是基本空间Ω上的σ代数，称(Ω，F)为可测空间，而称F中的元素A是(Ω，F)中的可测集，也称为Ω中的F可测集，简称可测集。例如，当F是R中的博雷尔集类B时，(R，B)称为博雷尔可测空间。当F是R中的勒贝格可测集类L时，(R，L)称为勒贝格可测空间。可测空间是测度的定义域，在一个可测空间上可以定义不止一种测度。

测度论

亦称抽象测度论或抽象积分论，研究一般集合上的测度和积分的理论。是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展。测度是集合的一种度量，它是长度、面积、体积概念的推广。

一般集合上的测度和积分理论是最广泛的测度理论，但为适应各方面的需要，还出现了其他种种特殊的测度和积分。例如，20世纪30年代初，伴随着人们对取值于巴拿赫空间的函数性质特别是可微性和可积性的研究，出现了有关向量值测度的一些工作。1960年以后，向量值测度理论得到蓬勃发展，并逐渐趋于完善。又如，19世纪建立的傅里叶分析理论，对于应用数学而言，当时已是令人满意的数学工具，但由于黎曼积分的局限性，对于函数与展开式之间的关系，直到勒贝格积分理论确立之后才有深刻的揭示.勒贝格积分的出现对于傅里叶展开的研究显然促进了一大步，但依旧显示出了它的局限性。研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的基本问题之一，这个问题自1930年以来，经过哈尔(A.Haar)、韦伊(A.Weil)和盖尔范德(И.М.Гельфанд)等人的工作而趋于完善。再如，20世纪初测度论的建立，使得人们对R中的子集关于n维勒贝格测度的性质有了很好的了解。但在处理与R中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。在这种背景下，20世纪20年代出现了几何测度论，它是研究高维空间中低维点集的测度及低维点集上积分的理论。

有界集

拓扑线性空间中的一类子集。对于拓扑线性空间E的子集S，若对零元的每个邻域U，存在正数δ(U)，使得对一切|λ|≤δ(U)，有λS⊂U成立，则S称为有界的。对于拓扑线性空间E的子集S，下面三条是等价的：

1.S是有界集。

2.对于趋于0的任何数列{λn}以及S中任何点列{xn}均有λnxn→0。

3.对每个点列{xn}⊂S，有xn/n→0。

拓扑线性空间中的有界集是赋范线性空间中用范数定义的有界集概念的推广。

若尔当容度

长度(或面积、体积)概念的一种推广。以平面情形为例，设A为xy平面上的有界点集，先用平行于x轴和平行于y轴的直线，将xy平面分为边长为1的闭正方形网格，第二次再将这每个正方形分为四个大小相同的闭正方形，如此下去。用Kn表示至少含A的一个点的那些第n次所得闭正方形组成之集，用Gn表示第n次得到的正方形中全部含于A的那些组成之集，并且用|Kn|和|Gn|分别表示Kn和Gn中的闭正方形的面积之和。当A的内、外容度相等时，A称为若尔当可测，这个公共值称为A的若尔当容度，简称容度，记为|A|。对直线上以及一般R中的集合可以类似地定义它的可测性及容度。可以证明，一个集合在若尔当意义下可测与否以及可测时的容度数值，与上述定义中的分法及坐标轴方向无关。

若尔当容度具有非负、单调、有限可加及在正交变换下(可测性及容度)不变等性质.它是由佩亚诺(G.Peano)于1887年、若尔当(M.E.C.Jordan)于1892年提出的。若尔当在其1893年出版的《分析教程》中对它作了详细阐述，提出的目的主要是为了完善黎曼意义下的二重积分理论。黎曼积分只能在若尔当可测集上进行。若尔当容度是与黎曼积分相适应的，它的局限性在于，可测集类不够广泛和只有有限可加性(例如有理点集就是不可测的)。这也说明了黎曼积分的局限性。

若尔当

法国数学家。生于里昂，卒于巴黎。1855年入巴黎综合工科学校，1861年获博士学位。从1873年起，同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院执教。1881年当选为法国科学院院士。1895年当选为圣彼得堡科学院通讯院士。1885—1921年担任《纯粹与应用数学杂志》编辑。若尔当在代数学、分析学、拓扑学和集合论等方面都有重要贡献。他系统地发展了有限群论和伽罗瓦理论，证明了“若尔当—赫尔德定理”的前半部。他最早开展无限群的研究，首先用一种线性变换来表示置换群。还论证了有限群定理，并应用到伽罗瓦开创的方向上，他的名著《置换与代数方程》(1870)首次对伽罗瓦理论进行全面而清晰的介绍，在数学界有很大影响，是此后30年间群论的权威著作。他建立了有界变差函数的概念，并证明这种函数可以表示为两个增函数之差;他对平面或n维空间的任意集合引入外测度概念。他编写的《分析教程》(1887)是19世纪的标准教科书，书中给出曲线的“若尔当定义”，并证明了拓扑学中的若尔当定理：一个简单闭曲线将平面分成内、外两部分。其证明的缺陷由美国数学家维布伦补足(1905)。他培养了不少优秀的学生，其中最著名的有C.F.克莱因和S.李等。

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