莫尔斯理论(Morse theory)是微分拓扑学中利用微分流形上仅具非退化临界点的实值可微函数(称为莫尔斯函数)研究所给流形性质的分支。它是H.M.莫尔斯在20世纪30年代创立的。
概念
莫尔斯理论是
微分拓扑学中利用微分流形上仅具
非退化临界点的实值可微函数(称为
莫尔斯函数)研究所给流形性质的分支。它是H.M.莫尔斯在20世纪30年代创立的。由莫尔斯理论得知 ，
微分流形与其上的光滑函数紧密相关，利用光滑函数不仅能研究微分流形的局部性质，而且某些光滑函数例如莫尔斯
函数包含了刻划流形整体性质的丰富信息。莫尔斯理论主要分两部分，一是
临界点理论，一是它在大范围变分问题上的应用。
详细介绍
莫尔斯理论是研究可微流形M上定义的可微实函数f的性质与流形M的拓扑与几何性质相互关系的数学分支。给定拓扑空间X与其上的连续实函数f，则称定义了变分问题(X，f).
大范围变分法即是对于给出的变分问题(X，f)，以函数f的性质与空间X的性质之间的关系作为研究对象的数学分支。在应用上重要的变分问题有：
1.与可微函数f有关的问题；
2.与由道路构成的空间Ω上的能量函数E有关的问题。
其中特别是问题2是以
黎曼流形上的测地线理论为基础，因而是以普通的变分法为其分析学基础的。问题1和2是由
庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)与
伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)所开创，
莫尔斯(Morse，H.M.)把它们发展成近代的样子，即莫尔斯理论。继莫尔斯以后，
柳斯捷尔尼克(Люстерник，Л.А.)和施尼雷尔曼(Шнирельман，Л.Г.)开辟了另一条估计临界点个数的途径，即利用畴数来估计流形上函数的临界点。而斯梅尔(Smale，S.)把莫尔斯理论中
梯度向量场零点的问题推广为流形M上一般向量场的零点问题，从而导致维数n≥5情形广义庞加莱猜测的解决，这是微分拓扑中的一个重大成就。
其次，由于测地线问题是一维变分问题，故可使得无限维空间Ω上的问题，化为有限维流形上的临界点问题。但是对于多维变分问题，无法做到这一点，这就使得发展无限维流形上的莫尔斯理论成为需要。总之，近年来莫尔斯理论被进一步推广和精密化，并应用于微分拓扑、微分几何、偏微分方程、杨-米尔斯方程等各个数学领域而取得重要的结果。
微分拓扑学
研究微分流形在微分
同胚映射下不变的性质的科学。它的研究对象是微分流形 (有时是带边流形) 和这样的流形之间的可微映射。
这门学科的主要任务，首先是阐明流形的拓扑结构和组合结构，同时如同拓扑学把研究连续映射作为重要问题之一，微分拓扑学也把研究可微映射作为重要的课题。它研究的中心问题如下面所列：
微分同胚问题： 判断两个微分流形是否微分同胚。配边问题： 给一个光滑紧致无边的微分流形，判断它是否为某带边微分流形的边界。微分嵌入问题：给两个微分流形M和N，M是否可以光滑地嵌入N。莫尔斯理论： 借助于微分流形上光滑映射的临界点来研究流形的整体性质。奇点理论： 关于可微映射临界点局部结构的研究，它们的等价分类问题。微分动力体系： 关于
单参数微分同胚群整体轨道结构的研究。参数空间G=R时，即
常微分方程定性理论的研究。
从历史上看，
微分流形的概念及其拓扑结构的研究，应追溯到19世纪末年庞加莱的工作，他应用代数拓扑的工具，对低维流形进行了研究，并提出了著名的
庞加莱猜想：“每个单连通的不带边的紧三维流形同胚于三维球S。”此猜想至今未彻底解决。由于当时数学工具的限制，微分流形的拓扑研究一直未取得突破性的进展。直到1936年惠特尼(Whituey) 的嵌入定理，凯恩斯 (S. S.Cairns)证明了微分流形的可剖分性，以及莫尔斯(Morse)理论的产生，伴随着代数拓扑中纤维丛、示性类以及同伦论的研究方面的进展，使微分流形的拓扑结构、组合结构及微分结构的研究，以及浸入、嵌入和微分同胚分类问题的研究出现了飞跃的发展，产生了 “微分拓扑学”这一新兴的学科。
微分流形
设M是仿紧豪斯道夫 (Hau-sdorff)空间，且是拓扑流形，称A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地图，如果{Uα|α∈P}是M的开覆盖，Фα是从Uα到n维
欧氏空间R的某开集上的
同胚。(Uα，Φα)称为坐标卡。如果两个坐标卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 满足Uα∩Uβ≠Φ，则称Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα (Uα∩Uβ) 为Uα∩Uβ上的坐标变换。如果A的所有坐标变换都是C可微的，则称A为一个C地图，其中1≤r≤∞。r也可等于ω，此时A称为解析地图。拓扑流形M的坐标卡 (U，Φ) 称为与A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐标变换Φ·Φα Φα·Φ均C可微。拓扑流形M的C地图A称为最大的，如果它包含M的所有与之C相容的坐标卡。M上的最大C地图A称为M的C微分结构。(M，A)称为C微分流形，或简称为C流形。当r=∞时，C微分结构也称为光滑结构，C流形也称为光滑流形。r=ω时，C结构也称为解析结构，C流形称为解析流形。C流形(M，A)有时也简记为M。
从直观上看，拓扑流形是局部欧氏空间，局部之间用同胚映射(坐标变换)粘贴在一起。n维C流形，不仅局部同胚于n维欧氏空间，而且局部之间是用C光滑、且其逆也C光滑的坐标变换粘贴在一起。
两个C流形M和N，f：M→N是连续映射，且任一点P∈M，有包含P点的M中的坐标卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐标卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同时，映射φ°f°Φ-1：Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，则称f是C映射。C映射也称为光滑映射，C映射也称为解析映射。其中称为f的局部表示。
C流形M和N之间的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，则称f是C微分同胚。
(M，A)是C微分流形，A是C结构，若1≤r≤s≤∞，则A中包含M的C结构A′。且此Cs微分结构A′在相差一个C微分同胚的意义下是唯一的，此时我们称A与A′相容。此结果归功于惠特尼。同样，一个C结构也允许相容的实解析结构。这就是说当1≤r
一个
拓扑流形M如果存在两个C微分结构A与A′，使微分流形(M，A)与(M，A′)不是C微分同胚的，则称A与A′相异。米尔诺(Milnor)证明七维球S存在多个相异的C微分结构。这种与普通球S同胚，但不是C微分同胚的C微分流形称之为怪球。在讨论这类问题过程中的一个重要有趣的问题是：“一个光滑流形M，使得M-{P}可缩，其中P是M中任一点，能否引出M同胚于一个球?”对于M的维数n，当n=0，1，2时，M微分同胚于n维球S;当n=3时，归结为庞加莱猜想;n=4时也未解决;n≥5时，问题结论成立。
人物简介——莫尔斯
美国数学家。1892年3月24日生于缅因，1977年6月22日卒于普林斯顿。1915年和1917年获哈佛大学硕士和博士学位。1920-1925年任教于康奈尔大学;1925-1926年和1926-1935年分别执教于布朗大学和哈佛大学，后任普林斯顿高级研究所数学教授，1962年退休。1932年被选为美国全国科学院院士。1964年获美国国家科学奖章。
莫尔斯的贡献主要在大范围变分法领域。受
庞加莱和G·伯克霍夫影响较大并继承了他们在三体问题等方面的研究。他发现了每一个三重可微函数是非退化的或可用非退化函数任意逼近的。他把拓扑和分析用一种新的方法结合了起来。20世纪20年代，他考察了非退化函数的临界点的性态与紧流形的拓扑结构的联系，建立了非退化临界点理论，把流形上
光滑函数的临界点的指数与流形的贝蒂数联系起来，发展成了大范围变分法。他1934年出版的《大范围变分法》(The Calculus of Variationsin the Large)为后来发展成的莫尔斯理论提供了基础，其中著名的莫尔斯不等式就是他本人给出的。现在在大范围变分法中还有临界点的莫尔斯指数。此外，他对测线、动力学和微分拓扑等都进行过研究。另外还著有《单复变函数论中的拓扑方法》(Topological Methods in the Theory of Functions of a Complex Variable，1947)、《大范围分析引论》(Introduction to Analysis in theLarge，1947)、《整体分析与微分拓扑中的临界点理论》(Critical Point Theory in GlobalAnalysis and Differential Topology. An Introduction， 1969，与他人合作)和《整体变分分析：外尔斯特拉斯积分与黎曼流形》(Global Variational Analysis： Weierstrass Integrals and a Riemannian Manifold，1976)等。江泽涵在哈佛大学就读时曾受莫尔斯指导和影响。
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