莱布尼茨公式

含参变量常义积分中的Leibniz公式

莱布尼茨公式给出了含参变量常义积分在积分符号下的求导法则。莱布尼茨是德国自然科学家，客观唯心主义哲学家，启蒙思想家。生于莱比锡，死于汉诺威。早年就读于莱比锡大学，于1663年获得学士学位。1667年又获阿尔特多夫大学法学博士学位。曾任美因茨选帝侯的外交官、宫廷顾问、图书馆长等职。1673年当选为英国皇家学会会员。

概念

我们先定义积分的连续性。若函数在有界区域内有定义并且是连续的，则

是在闭区间上的连续函数。如果一个函数满足上述条件，且偏导数在区域内连续，则当时成立Leibniz公式

在更一般的情况下，当积分的下限和上限为参数的可微函数和，并且当时，，则有

。说的通俗易懂一些，就是用关于参数y的积分上下限函数替换被积函数中的积分变量x。

微分法

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数f的自变量x有一个微小的改变h时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分，另一部分是比h更高阶的无穷小，这种表示方法成为微分法。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量，可以表示成和一个与无关，只与函数及有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在上的值。另一部分是比更高阶的无穷小，也就是说除以后仍然会趋于零。当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在处的微分，记作或。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

设函数在某区间内有定义。对于内一点，当变动到附近的（也在此区间内）时，如果函数的增量可表示为（其中是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，且称作函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即，是的线性主部。

通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，即。

人物简介

德国自然科学家，客观唯心主义哲学家，启蒙思想家。生于莱比锡，死于汉诺威。早年就读于莱比锡大学，于1663年获得学士学位。1667年又获阿尔特多夫大学法学博士学位。曾任美因茨选帝侯的外交官、宫廷顾问、图书馆长等职。1673年当选为英国皇家学会会员。1700年创建了柏林科学院，担任该院第一任院长。曾旅游英、法、荷等国。主要著作有：《人类理智新论》(1765年)、《神正论》(1710年)、《单子论》(1714年)、《刑而上原论》，以及若干论文和大量信件。20世纪70年代，柏林科学院出版了17卷的《莱布尼茨著作与书信全集》。成就是多方面的。在数学上，与牛顿并称为微积分的创始人，改进了帕斯卡的加法器，设计并制造了一种手摇的演算机，提出了自认为是和中国“先天八卦”相吻合的二进制，影响了后代计算技术的发展。在逻辑学上，最先提出充足理由律，是数理逻辑的先驱。在哲学上，建立了客观唯心主义体系的“单子论”。在认识论上，是唯心主义的先验论。在政治法律思想上，主张天赋人权，强调人的理性，认为自然法是理性的规范。莱布尼茨的自然法乃至国家理论，法律理论是同自然、宗教、道德及神内在地结合在一起的。认为人的道德生活在于求得自己本质的渐次的展开，经过整体不断的理性努力，使人达到更大的完善。在“自我完善”伦理生活中，存在着一切道德的、社会的规范的根据——自然道德法则。这种自然道德法则是法律和国家的根本原理。国家的形成是基于人类自然的素质，是凭借理性的认识而合理生成的。与社会形成的发展相适应，将自然法分成三个阶段：第一个阶段，在自然状态中，把自然法可看作为“平均的正义”或“交换的正义”，它要求不侵犯他人，人人自由平等、互相尊重。为了人类的共同福利，需要相互限制任意行使的自然权利，由自然状态进入国家状态。第二个阶段，在国家状态下，自然法实现了“分配正义”的统治，其明晰的意识和合理的认识得到进一步的提高。这时的国家是法律上的统一的人格，它有其超出君主和人民的变更的永久性。理想的政体形式是“开明君主制”。认为，人民有服从君主的义务，亦有反抗君主的权利。国家的目是保证“人的完美”和共同幸福的实现。自然法的第三个阶段，亦是最高阶段，即进入“普遍正义”。这时的国家是人类社会最高的最完善的国家形式——“普遍国家”。莱布尼茨的学说影响了康德、黑格尔、费希特的思想。

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