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蒙日圆

数学模型

在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。

定义
过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆。
方程
椭圆的蒙日圆方程为
双曲线的蒙日圆方程为
抛物线的蒙日圆方程为
注意：双曲线中只有当a>b时才有蒙日圆，此时离心率满足；抛物线的蒙日圆恰好为其准线（直线是半径为无穷大的圆）。
性质
过蒙日圆上一点作圆锥曲线的两条切线，则这两条切线互相垂直。
证明
方法1
设椭圆中心为O,焦点是F1,F2.焦点到中心距离为c。PM,PN是椭圆两条切线，且互相垂直。
连OP.作OG垂直于PM,OH垂直于PN.并做F1D垂直于PM。
做F1K垂直于OG,记角OF1K=k,则
DG=F1K=c*cosk
由勾股定理，有
OG^2=OD^2-DG^2=a^2-c^2cos^2k
考虑另一焦点F2,做F2E垂直于PN,F2L垂直于OH.仿上得
OH^2=a^2-c^2sin^2k
进而得到
OP^2=OH^2+OG^2
=a^2+(a^2-c^2)
=a^2+b^2
所以OP=根号(a^2+b^2)
以上过程中的a,b,分别是长短轴半径。
方法2
（如图1）
方法3
设圆锥曲线Σ的方程为，其中系数矩阵满秩（即系数行列式≠0）。
设平面内有一点，P不在Σ上。过P作Σ的切线，当切线斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程可写作。联立曲线方程，消去y得
为书写方便，令，由切线与圆锥曲线只有一个交点可得，即：
观察上式，当把代入之后可知前三项都含有k2，可写出二次项系数为。同理，第一、四、六项含有常数项，可以写出常数项为。
两条切线互相垂直，斜率之积为-1，因此由韦达定理得
整理得到
当切线斜率不存在时，很明显两条切线分别为x=x0和y=y0。
联立x=x0与Σ的方程，得到。
由得。
同理，。
两个方程相加，恰好得到此时P的坐标满足方程
所以无论切线斜率是否存在，P的轨迹方程均为
习惯上用x和y表示动点坐标，所以上式的x0和y0均改为x和y，即得到P的轨迹方程。
因x2和y2的系数相同，且缺少含xy的项，所以方程表示一个圆，即P的轨迹是一个圆（实圆、点圆、虚圆均可）。
蒙日圆类型
抛物线
通过选取相应的坐标系，可把抛物线方程化为。此时A=0，B=0，C=1，D=-p，E=0，F=0。
代入蒙日圆的方程中，可以得到，或。这恰好是抛物线的准线方程，因此抛物线的蒙日圆是其准线。这也可以从蒙日圆的一般方程中看出，因抛物线满足AC-B2=0，所以蒙日圆方程的二次项系数为0，方程退化为一条直线。
由此还能得出一个推论：过抛物线准线上的一点作抛物线的两条切线，这两条切线互相垂直。
椭圆
通过选取相应的坐标系，可把椭圆方程化为，或。此时A=b2，B=0，C=a2，D=0，E=0，F=-a2b2。
代入蒙日圆的方程中，可以得到，或。
由于a2+b2>0恒成立，所以椭圆的蒙日圆总是存在的。
双曲线
通过选取相应的坐标系，可把双曲线方程化为，或。此时A=b2，B=0，C=-a2，D=0，E=0，F=-a2b2。
代入蒙日圆的方程中，可以得到，或。
当a>b时，a2-b2>0，因此双曲线的蒙日圆存在。
但当a=b时，a2-b2=0，方程退化为一个点(0,0)。此时易证过(0,0)的直线要么和双曲线有两个交点，要么没有交点（因为双曲线关于中心对称），所以过(0,0)无法作双曲线的切线，自然也不存在两条互相垂直的切线。
而当a
综上，只有当a>b时（或离心率时），双曲线才有蒙日圆。
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