蒙特卡罗法

统计学模拟法之一

蒙特卡罗法也称统计模拟法、统计试验法。是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法。是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。蒙特卡罗是摩纳哥的著名赌城，该法为表明其随机抽样的本质而命名。故适用于对离散系统进行计算仿真试验。在计算仿真中，通过构造一个和系统性能相近似的概率模型，并在数字计算机上进行随机试验，可以模拟系统的随机特性。

概念

蒙特卡罗法(又称统计试验法)是描述装备运用过程中各种随机现象的基本方法，而且它特别适用于一些解析法难以求解甚至不可能求解的问题，因而在装备效能评估中具有重要地位。

用蒙特卡罗法来描述装备运用过程是1950年美国人约翰逊首先提出的。这种方法能充分体现随机因素对装备运用过程的影响和作用。更确切地反映运用活动的动态过程。在装备效能评估中，常用蒙特卡罗法来确定含有随机因素的效率指标，如发现概率、命中概率、平均毁伤目标数等；模拟随机服务系统中的随机现象并计算其数字特征；对一些复杂的装备运用行动，通过合理的分解，将其简化成一系列前后相连的事件，再对每一事件用随机抽样方法进行模拟，最后达到模拟装备运用活动或运用过程的目的。

以概率论与统计理论为理论基础，应用随机数来进行模拟试验的方法称为随机模拟方法，也称为蒙特卡罗方法。18世纪法国学者蒲丰用投针试验来模拟圆周率”的值，可以看作是随机模拟的最早尝试。

基本思路

蒙特卡罗法的基本思想是：为了求解问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数或数字特征等于问题的解：然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算这些参数或数字特征，最后给出所求解的近似值。解的精确度用估计值的标准误差来表示。蒙特卡罗法的主要理论基础是概率统计理论，主要手段是随机抽样、统计试验。用蒙特卡罗法求解实际问题的基本步骤为：

(1)根据实际问题的特点．构造简单而又便于实现的概率统计模型．使所求的解恰好是所求问题的概率分布或数学期望；

(2)给出模型中各种不同分布随机变量的抽样方法；

(3)统计处理模拟结果，给出问题解的统计估计值和精度估计值。

优缺点

蒙特卡罗法的最大优点是:

1.方法的误差与问题的维数无关。

2.对于具有统计性质问题可以直接进行解决。

3.对于连续性的问题不必进行离散化处理

蒙特卡罗法的缺点则是:

1.对于确定性问题需要转化成随机性问题。

2.误差是概率误差。

3.通常需要较多的计算步数N.

蒙特卡罗法作为一种计算方法，是由美国数学家乌拉姆(Ulam , S. M.)与美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann,J.)在20世纪40年代中叶，为研制核武器的需要而首先提出来的。实际上，该方法的基本思想早就被统计学家所采用了。例如，早在17世纪，人们就知道了依频数决定概率的方法。

蒙特卡罗方法可以解决其他数值方法解决不了的复杂问题，并且有超强的适应能力，已被广泛应用于自然科学和社会科学的多个领域。虽然利用蒙特卡罗方法估计定积分的计算结果与积分精确值之间有误差，但是可以通过增加样本量或者改进抽样方法等方法降低计算误差，提高计算精度。

步骤

蒙特卡罗法是一种用来模拟随机现象的数学方法，这种方法在作战模拟中能直接反映作战过程中的随机性。在作战模拟中能用解析法解决的问题虽然越来越多，但有些情况下却只能采用蒙特卡罗法。使用蒙特卡罗法的基本步骤如下：

(1)根据作战过程的特点构造模拟模型；

(2)确定所需要的各项基础数据；

(3)使用可提高模拟精度和收敛速度的方法；

(4)估计模拟次数；

(5)编制程序并在计算机上运行；

(6)统计处理数据，给出问题的模拟结果及其精度估计。

在蒙特卡罗法中，对同一个问题或现象可采用多种不同的模拟方法，它们有好有差，精度有高有低，计算量有大有小，收敛速度有快有慢，在方法的选择上有一定的技巧。

应用举例

在我方某前沿防守地域，敌人以1个炮兵排(含两门火炮)为单位对我方进行干扰和破坏。为躲避我方打击，敌方对其指挥所进行了伪装并经常变换射击地点。经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50%是准确的，而我方火力单位在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人1门火炮，有1/6的射击效果能全部消灭敌人。

解：希望能用某种方法把我方将要对敌人实施的20次打击结果显示出来，确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概率和期望值。但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显示不出作战行动的动态过程。

为了显示我方20次射击的过程，必须用某种方式模拟出以下两件事：一是观察所对目标的指示正确或不正确；二是当指示正确时，我方火力单位的射击结果。对第一件事进行模拟试验时有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2。因此，可用投掷1枚硬币的方式予以确定。当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确。对第二件事进行模拟试验时有3种结果，毁伤1门火炮的可能为1/3，毁伤2门火炮的可能为1/6，没能毁伤敌火炮的可能为1/2。这时，可用投掷骰子的办法来确定，如果出现的是1、2、3三个点则认为没能击中敌人，如果出现的是4、5点则认为毁伤敌1门火炮，如果出现6点则认为毁伤敌2门火炮。

通过上面的方式，就可把我方20次射击的过程动态地显现出来。

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