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蚌线

特殊曲线

蚌线是一种特殊曲线。沿给定平面曲线C：ρ=f(θ)的极径方向增加或减少一个定长线段b，这样得到的曲线ρ=f(θ)±b称为曲线C的蚌线，或称为一般蚌线，圆的蚌线就是帕斯卡蜗线。

基本概念
设某一曲线和一个定点O(这一点，我们把它叫作“极”)，过点O引一束射线，并且在每一条射线上从它和已知曲线的交点向两边作等长的线段，这些线段末端的轨迹就是一种新的曲线，叫作原曲线关于已知极的蚌线。
尼科米兹蚌线
尼科米兹(Nicomedes)蚌线是直线的蚌线（图1）。
定义
尼科米兹蚌线的定义是把蚌线定义中的已知曲线改成已知直线就可以了，但我们也可以这样来定义：
从定点O引直线OS交定直线 于 ，在OS上取一点P，使 (常数)，当OS绕O旋转时，点P的这种轨迹称为尼科米兹蚌线(图2)。
尼科米兹蚌线的极坐标方程
取O为极点，作 ，垂足为 ，以射线OM为极轴 (图2)。
设 为曲线上任一点，则 。
由 及 ，并设 ，得
即
但是 可以变形为 ，也就是 ，这说明如果 在曲线上。那么， 一定也在曲线 上，我们知道 与 是表示极坐标平面上同一点，所以方程 和 表示的是同一条曲线，因此方程可以统一表示为
这就是尼科米兹蚌线的极坐标方程。
尼科米兹蚌线的直角坐标方程为
图3是各种类型的直线的蚌线。
对于尼科米兹蚌线 的图形的分类，如图4(a)(a>b)，图4(b)(a=b)，图4(c)(a
蜗牛线
定义
蜗牛线的定义是只要把蚌线定义中的已知曲线换成已知圆就可以了，但我们也可以这样来下定义：从圆周上定点O引直线OS，交圆于Q，在OS上取一点P，使 为一常数，当OS绕O旋转时，动点P的轨迹称为蜗牛线(图5)。
蜗牛线的极坐标方程
取定点O为极点，设OA为定圆直径，以射线OA为极轴 ，建立极坐标系(图5)。
记定圆直径为a， ， ，那么定圆的方程为 。
设 为蜗牛线上任一点，相应的 的坐标为 ，那么由于点 在定圆上，所以它的坐标满足定圆方程，也就是
因为P在OQ或其延长线上，所以 ，因此点P的极坐标满足方程
但是， 可以变形为 ，也就是 ，这说明如果 在曲线上，那么 也一定在曲线 上，我们知道 和表示的是极坐标平面上同一点，所以方程 和 表示的是同一条曲线，所以方程可以统一表示为
这就是蜗牛线的极坐标方程，化成直角坐标方程为
蜗牛线的分类
蜗牛线有三种情况：
(1)a>b时，称长心脏线(图6)．如果从外摆线角度看，它又是当 时的长外摆线；
(2)a=b时，称心脏线(图7)．从外摆线角度看，就是当 时的外摆线；
(3)a短心脏线(图8)，从外摆线角度看，就是当 时的短外摆线。
长心脏线和短心脏线又称帕斯卡(pascal)蚶线。 ‘
从上面看出蜗牛线是蚌线的一种特殊情况，而心脏线又是蜗牛线的特殊情况。
心脏线的极坐标方程
心脏线的极坐标方程为：
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