蛋圆曲线

正劈锥面被平面所截得的交线的投影即为平面蛋圆曲线

蛋圆曲线指的是正劈锥面被平面所截得的交线的投影即为平面蛋圆曲线，方程式为 x^2/a^2 + y^2 / (ky + b)^2 = 1, 绝对值k小于1，平面上至少有一条对称轴的卵形曲线是蛋圆曲线。

定义

平面上至少有一条对称轴的卵形曲线是蛋圆曲线。

劈锥曲线族

本文涉及的蛋圆属于劈锥曲线族，是四次方程曲线。在椭圆方程中，令a = b = r ，椭圆即成为特例——圆；而椭圆又是蛋圆的一种特例。

公式

设准线为椭圆的正劈锥面方程为 x^2 / a^2 + y^2 / z^2 = 1,其轴为 x 轴，准线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，以平行于劈锥面轴的平面

z = ky + b 去截正劈锥面，得交线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

z = ky + b (2)，将（2）投影到 xOy 平面上，即得蛋圆标准方程（1），见图1。

仿椭圆参数方程，引入角参数 t ，蛋圆参数方程为

x = a cos t

y = b sin t / ( 1－k sin t) (∣k∣﹤1) (3)。令（1）在三维直角坐标系中绕 y 轴旋转，得出旋转蛋球面方程（详见图2）：

蛋圆（1）的取值范围：a ＞ 0, b ＞ 0, ︱k︱＜ 1。

因为 k 是平面 ky + b 对于 zOx 坐标面的斜率，︱k︱﹥ 1时，平面在正劈锥面上不能截到封闭的卵形线，k = 0 时（1）成为特例——椭圆。b = 0 时（1）成为两条直线： —a ≤ x ≤ a ；

－b / (1 + k) ≤ y ≤ b / (1 － k)。

蛋圆（1）内线段：（1）与 x 轴两个交点的连接线段称“横径”，其长度记为 2r，横径被其中点所分成的两个线段称“对称半径”，其长度记为r ,r = a ；(1)以 y 轴为对称轴，是偶函数，（1）与其对称轴的两个交点间的线段称“直径”，其长度记为 d ，

d = b / (1－k) － [－b/ (1 + k )] = 2b /(1－k^2)；直径与横径的比值称圆度记为u，u = d / 2r = b / a(1－k^2)，当u = 1时蛋圆变为特例——圆，当u → 0 时蛋圆越来越矮胖，当u →∞时蛋圆越来越瘦长。

由于蛋圆（1）是已知的三参数蛋圆曲线，调节a、b、k三个参数比例，可以无限逼近符合定义的任何蛋圆，包括获得比椭圆方程式更精确地逼近真实的地球外形方程式。

图3：计算机绘制的立体蛋圆——蛋球面

（方程式为：（x^2 + z^2）/16 + y^2/(0.2y +5)^2= 1）

图4：上海世博文化中心（从模型纪念品可见其俯视图为平面蛋圆曲线）

注释

注1 卵形线定义：平面上与任一直线相交不多于两点的闭曲线。它是凸闭曲线。

《数学词典》215页，上海辞书出版社1992年8月第一版。

注2 本文主要引用《浅析椭圆的一种推广——蛋圆》曹明建、曹明达1999-09-01。

注3 国内课题来源：《科学画报》1983.6，36页《怎样画蛋》王根明、陆彤，“用数学术语来表示蛋的形态曲线，至今还没有研究出来。”（第8行）

注4 国际课题来源：英国《新科学家》29july1982,Vol95,No1316,P290 <>,Robert Dixon,P293末段。

注5 蛋圆应用介绍：（1）《知识窗》1995.11,25页，《蛋形的奥秘》曹明建、王令朝。（2）《科学画报》1996.11，13页《蛋形的魅力》王令朝，本文披露了蛋圆标准方程，可惜方程式在逗号前漏印了“= 1”。（3）《文汇报》2008.07.29.11版《师法自然赋流形（上）》詹克明，整个第二节讨论“师法蛋壳力学特征的穹顶结构”。

注6 其他蛋圆

（1）卡西尼卵形线 ,《数学手册》高等教育出版社1979年5月第一版，392页。与二定点的距离之积为常数的动点轨迹，

( x^2 + y^2)^2－ 2c^2(x^2－y^2) = a^4 －c^4 (a ＜c)

(2)《数学通报》1995.7，36页《关于超圆、超球等几何图形面、体积的计算》张正印，x^2 + y^2 = (y a^1/n )^[2n/(n+1)],(a ＞0,n ＞0)

（3）《形形色色的曲线》178页，孟格尔卵形线ρ= 2a cos ^n θ ,

N 为正整数。蒋声编著，属于《中学生文库精选续编·数学趣谈辑》，上海教育出版社1999年12月第2版。

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