补码

计算机中有符号数的表示方法

计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。

概念引入

为了深入理解补码的优越性，我们从生活中的钟表入手。

表盘上时针指向10点钟，而正确的时间是5点钟，要把时针拨回到5点钟有两种方法：第一种方法是将时针往回拨5个小时指向5点钟，第二种方法是将时针往前拨7个小时指向5点钟。用数学式表示出来，第一种方法为10-5=5；第二种方法为10+7=12+5=5，由于表盘上最大的数是12，当时间超过12点以后，12自动丢失，只保留减去12以后的余数5。从效果上来看，与是等价的，都使时针指向了5点，12称为模，“模”是指一个计数系统的进位基数。7是-5对模12的补数，也称为补码。该实例说明了对模12而言，减法运算可以通过加法运算来实现。这意味着，模确定以后，在舍弃进位的条件下，减去一个数可以通过加上该数的补码来实现，也意味着在电路中，减法运算可以通过加法电路来实现，从而简化了电路设计。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设所能表示的最大数是11111111，若再加1成为100000000（9位），但因只有8位，最高位1自然丢失，又回到了00000000（8位），所以8位二进制系统的模为.在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题。只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

性质

以补码定义式为基础，沿数轴列出典型的真值、原码与补码表示，可清楚了解补码的有关性质。

(1) 在补码表示中，最高位(符号位)表示数的正负，在形式上与原码相同，即 0正 1负。但补码的符号位是数值的一部分，由补码定义式计算而得。例如，负小数补码中为 1，这个 1是真值(负)加模 2后产生的。

(2) 在补码表示中，数 0只有一种表示，[+0]补 =[-0]补 =0.000……0．

(3) 负数补码表示的范围比原码稍宽，多一种数码组合。对于定点数，若为纯小数，表示范围为：，若为纯整数，表示范围为：。

(4) 将负数的真值与其补码在数轴上做一映射图，可以进一步看出，负数补码表示的实质是将负数映射到正数域，因而可实现化减为加、简化运算的目的。

计算补码

对于正数，其补码与原码相同。

对于负数，通过数学公式求补码的过程较为复杂，不利于在计算机中的实现，有两种更简便实用的转换方法。

(1) 符号位保持不变，将尾数按位取反后加1。

(2) 符号位保持不变，尾数自低位向高位，第一个1及其以前的各位0保持不变，其他位按位取反。

补码计算原码

已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码：

⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。

⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，通过上述介绍的两种负数补码计算方式，可以得到补码的补码，即原码。

例：已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。

解：因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。

其余七位1111001取反后为0000110；再加1，所以是10000111。

数据溢出

补码定点加减运算判断溢出有两种方法。

(1) 用一位符号位判断溢出

对于加法，只有在正数加正数和负数加负数两种情况下才可能出现溢出，符号不同的两个数相加是不会溢出的。

对于减法，只有在正数减负数或负数减正数两种情况下才可能出现溢出，符号相同的两个数相减是不会溢出的。

下面以机器字长为4位（含1位符号位）为例，说明机器是如何判断溢出的。

机器字长为4位的补码所对应的真值范围为[-8，+7]，运算结果一旦超过这个范围即为溢出。下图列出了四种溢出情况。

由于减法运算在机器中是用加法器实现的，因此可得出如下结论：不论是作加法还是减法，只要实际参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补”以后的减数）符号相同，结果又与原操作数的符号不同，即为溢出。

(2) 用两位符号位判断溢出

特点

(1) 最高位为符号位，为0表示这个数是正数，为1表示这个数是负数。

(2) 对于正数，，即正数的补码与原码相同，且能表示的数值范围也相同。

(3) 对于负数，补码的值等于模减去该数的绝对值，再对照负数补码和反码的数学定义式可知，负数的补码等于该数的反码加1。

(4) 对于零，设，则，，0的表示是唯一的，解决了+0和-0的表示问题。

(5) 使用补码表示，可以将真值的减法运算变为机器中的加法运算，从而使CPU 内部不再需要设计减法器，简化了CPU 的设计。

意义

补码“模”概念的引入、负数补码的实质、以及补码和真值之间的关系所揭示的补码符号位所具有的数学特征，无不体现了补码在计算机中表示数值型数据的优势，和原码、反码等相比可表现在如下方面：

(1)解决了符号的表示的问题；

(2)可以将减法运算转化为补码的加法运算来实现，克服了原码加减法运算繁杂的弊端，可有效简化运算器的设计；

(3)在计算机中，利用电子器件的特点实现补码和真值、原码之间的相互转换，非常容易；

(4) 补码表示统一了符号位和数值位，使得符号位可以和数值位一起直接参与运算，这也为后面设计乘法器除法器等运算器件提供了极大的方便。总之，补码概念的引入和当时运算器设计的背景不无关系，从设计者角度，既要考虑表示的数的类型(小数、整数、实数和复数)、数值范围和精确度，又要考虑数据存储和处理所需要的硬件代价。因此，使用补码来表示机器数并得到广泛的应用，也就不难理解了。

补充说明

在计算机中，有符号数有三种表示法：原码表示法、补码表示法、反码表示法。它们的特点如下。

(2) 当真值为正时，原码、补码和反码的表示形式均相同，即符号位用 “0” 表示，数值部分与真值相同。

(3) 当真值为负时，原码、补码和反码的表示形式不同，但其符号位都用 “1” 表示，而数值部分有这样的关系，即补码是原码的“求反加 1” ，反码是原码的“每位求反”。

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