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计数原理

数学中的重要研究对象

计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本章中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。

两个基本原理
加法原理
如果一个目标可以在n种不同情况下完成，第k种情况又有 种不同方式来实现 ，那么实现这个目标总共有 种方法。
注意事项：
（1）每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；
（2）每种情况内任两种方式都不同时存在；
（3）不同情况之间没有相同方式存在。
乘法原理
如果实现一个目标必须经过n个步骤，第k步又可以有 种不同方式来实现 ，那么实现这个目标总共有 种方法。
注意事项：
（1）步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的；
（2）每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响；
（3）每步所取的方式不同，不会得出（整体的）相同方式。
两个原理异同
加法原理和乘法原理的关键点在于区分是分类还是分步。
相同点
加法原理和乘法原理一样，都是回答有关一件事的不同方法种数的问题。
区别点
加法原理是完成这件事的分类计数方法，每一类都可以独立完成这件事；乘法原理是完成这件事的分步计数方法，每个步骤都不能独立完成这件事。
应用这两个原理解题，首先应该分清要完成的事情是什么，然后需要区分是分类完成还是分步完成，“类”间相互独立，“步”间相互联系。
典例
例1
求以下要求的计数。
A：大于0小于10的偶数；
B：大于0小于10的奇数；
C：大于0小于10的整数；
D：大于0小于10的质数。
E：大于0小于10的质数或偶数。
解：
（1）A={2,4,6,8}，|A|=4；
（2）B={1,3,5,7,9}，|B|=5；
（3）C=A∪B，|C|=|A|+|B|=9；
（4）D={2,3,5,7}，|D|=4；
（5）E=A∪D，但质数与偶数并不互斥，有一个公共元素2，故有|E|=|A|+|D|-1=4+4-1=7。
例2
从A地到B地共有3种方法，从B地到C地共有两种方法，问从A地到C地共有多少种方法。
解：要从A地到C地，需要先从A到B，再从B到C，且A到B的3种方法和B到C的2种方法互不干扰，故总共有3×2=6种方法。
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