谱估计

对随机信号序列进行功率谱密度估计算法的总称

谱估计（spectrum estimation）对随机信号序列进行功率谱密度估计算法的总称，属于频域中描述随机信号特性的分析方法之―。

定义

随机信号是不确定的，不能用清楚的数学式表达，只能根据随机过程理论，利用统计方法来进行分析。经常利用均值、均方值、相关函数和功率谱密度函数等统计量来描述随机过程的特征或随机信号的特性。实际上，经常遇到的随机过程多是平稳随机过程而且是各态历经的，因而它的样本函数集平均可以根据某一个样本函数的时间平均来确定。平稳随机信号本身虽仍是不确定的，但它的相关函数却是确定的。在均值为零时，它的相关函数的傅里叶变换或Z变换恰恰可以表示为随机信号的功率谱密度函数，一般简称为功率谱。可见随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频域和时域来描述随机信号的基本特性。

在很多应用场合，可以观测到的数据总是有限的，这就需要利用-些方法，根据有限的实测数据估计出整个信号的功率谱。针对不同的要求，如减小谱估计的偏差，减小对噪声的灵敏程度，提高谱分辨率等，已提出许多不同的谱估计方法。在线性估计方法中，有周期图估计法、相关法和协方差法；在非线性估计方法中，有最大熵谱估计、AR模型法、MA模型法、ARMA模型法和最大似然法等。线性估计方法大多是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。非线性谱估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。

简史

1807年，法国人傅里叶提出了著名的傅里叶变换，在信号分析与处理中，成为最常用的分析工具。1930年，N．维纳发表论文《广义谐波分析》，引进了自相关函数和功率谱的定义，并证明这两个函数互为傅里叶变换，这项工作建立了使用傅里叶变换方法处理随机过程的理论体系。1958年，布莱克爱和图基给出了用维纳相关法从抽样数据序列得到功率谱的实现方法。该方法首先从观测数据估计自相关延迟，然后将自相关估计值乘以窗函数，最后对加窗延迟估计值作傅里叶变换得到功率谱估计。这种方法简称BT法，其性能与窗函数的选择密切相关。1965年库利和图基提出了著名的快速傅里叶变换（FFT）这一极有效的算法，使得功率谱估计的周期图估计成为当前最流行的功率谱估计算法。BT法和周期图法所得到的功率谱估计都是应用了经典的傅里叶分析方法，故称为学弗谱估计法。这两种谱估计法亦称为线性谱估计法。BT法与周期图法的主要弱点是频率分辨率的限制。因为谱分辨率的极限受抽样数据的长度的限制，数据长度越短，谱分辨率越低。为了克服这个缺点，1967年，伯格提出了最大熵谱分析法；1968年，帕曾提出了自回归(AR)谱估计法。1971年，范登-博斯证明了最大熵谱分析与AR谱估计等效。自此构成了现代谱估计的模型参量法：如自回归（AR)模型、滑动平均（MA)模型、自回归滑动平均（ARMA)模型及普罗尼（Prony)复指数模型等。同时，还出现了现代谱估计的非参量法：1969年J．卡彭为分析阵列的频率一波数谱估计而提出了最大似然谱估计法；1971年洛卡斯将其推广到时间序列的功率谱估计中。现代谱估计的参量法和非参量法，都是基于非线性运算的，故亦称为非线性谱估计法。这些非线性谱估计方法都具有分辨率高的优点，而且特别适用于短数据序列的谱估计。因此这些方法又称为高分辨率的谱估计方法。20世纪80年代初，现代谱估计方法又形成一些新的分支，主要有应用信息论的熵谱估计法、奇异值/特征值分解处理法谱估计、多谱(高阶谱)估计及多维谱估计等。现代谱估计的发展已成为当今一门不可缺少的新学科与新技术。

展望

在现代谱估计中，对于功率估计的理论、方法的研究已相当深入，应用也比较广泛。然而功率谱估计仅包含振幅信息，不包含相位信息，大量的实际问题却常常需要相位信息。另外，对实际观测到的数据均假定是由正态白噪声激励-线性最小相位系统产生的，但实际中有时数据是由非正态白噪声产生的，而产生数据的系统是线性非最小相位的或非线性的。因此提出多谱（高阶谱）问题，多谱定义为高阶累积量（与高阶矩密切相关的一个量去维傅里叶变换，它含有比功率谱更多的信息。很多领域发现了多谱的应用价值，现在多谱估计已成为现代谱估计发展的新分支。多谱中的双谱，阶数最低，处理方法简单，含有相位信息，是多谱命长中的“热点”。一维情况现代谱估计方法所具有的高分辨性能，吸引人们期望二维谱估计亦能存在与其相似性能，这对实际应用是很有意义的。因此二维高分辨率谱估计问题与多维阵列谱估计也是当今现代谱估计中发展的新分支。

应用

谱估计理论和技术广泛地应用于各个领域如通信、自动控制、雷达、声纳、仪器仪表、测试技术、遥测、遥控、地球物理学、天文学、海洋学、生物学、生物医学、计算机视觉、机器人、全息技术、信号恢复、模式识别、语音和图像处理、振动现象研究、探矿、检测、估计和预测预报等。

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