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负定矩阵

线性代数术语

实对称矩阵A是负定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX负定。矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。若矩阵A是n阶负定矩阵，则A的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。

意义
矩阵与方程组、行列式联系紧密，又是与自然科学和工程技术相关的数学应用的内容，矩阵变换是基本的数学方法，矩阵在数学中，乃至其他学科中应用广泛。负定矩阵是矩阵类中的一种特殊矩阵，它在矩阵理论中占有重要地位。负定矩阵可以看成是与正定矩阵对应的概念，负定矩阵与正定矩阵有着许多相似的性质。
定义
设 是一个二次型，对于任意一组不全为0的实数 ，如果都有 ，那么 是负定的。
实对称矩阵A是负定的，如果二次型 负定
性质
性质1：若矩阵是负定矩阵，则 是负定二次型。
性质2：若矩阵是负定矩阵，则实二次型的负惯性指数等于
性质3：若矩阵是负定矩阵，则有可逆矩阵，使，其中，
性质4：若矩阵是阶负定矩阵，当是偶数时，，当是奇数时，
性质5：若矩阵是阶负定矩阵，则的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0
性质6：若矩阵是负定矩阵，则 合同于
性质7：若矩阵 是负定矩阵，则也是负定矩阵
性质8：若矩阵是负定矩阵，则的所有特征值小于 0
性质9：若矩阵是负定矩阵，则也是负定矩阵
性质10：若矩阵是负定矩阵，则 是正定矩阵
性质11：若矩阵是负定矩阵，则当是偶数时，是负定矩阵，当是奇数时，是正定矩阵
性质12：若矩阵是负定矩阵，存在可逆实矩阵使
判定定理
定理1：对称矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零
推论1：若矩阵是负定矩阵，则当是偶数时，是负定矩阵，当是奇数时，是正定矩阵
推论2：设A是对称矩阵， 其中是矩阵A的特征值，当实数 ， 则是负定矩阵
推论3：任意对称矩阵， 必有实数， 使得都是负定矩阵
定理2：若矩阵是负定矩阵的充要条件是负惯性指数等于
推论4：若矩阵是阶负定矩阵，则的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0
例题
例1. 判断下面的矩阵是否负定：
解：特征多项式为：
得到特征根： ，即特征值全部小于0，故该矩阵是负定矩阵。
例2. 判断二次型是否负定：
解：易知：二次型对应的矩阵为：
它的一阶顺序主子式
二阶顺序主子式：
三阶顺序主子式：
得到矩阵A是负定的， 所以上述二次型为负定二次型
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