质心坐标系

坐标轴的方向始终与某个固定参考系的坐标轴保持平行的平动坐标系

质心坐标系是将直角坐标系的坐标原点始终选取在质点组的质心上，坐标轴的方向始终与某个固定参考系(惯性系)的坐标轴保持平行的平动坐标系。对于不受外力作用的质点组(孤立体系)或所受外力的矢量和为零的质点组，其质心系是惯性系．对于受外力作用的质点组，其质心系是非惯性系。

定义

质心是描述质点系整体运动状态的代表点。质点系中每一个质点既与质心一起运动，又有相对于质心的运动．各个质点运动状态的差异。表现为相对于质心有不同的速度。

所谓各个质点相对于质心的运动，就是各个质点相对于质心坐标系的运动．所谓质心坐标系，可以形象地规定为以质心为原点(参考点)，并且坐标轴指向固定方向的平动参考系，简称质心系．如果质点系是孤立系统，则它的质心系是惯性系；否则，不一定是惯性系。

考虑由行个质点构成的质点系．以固定点O为基点建立惯性坐标系．设质点系内第i个质点P：质量为，相对于惯性系的径矢为，速度为，相对于质心系的位矢为，速度为，令该质点系的质心C相对于惯性系的径矢为，速度，根据平动参考系的变换关系式，有

于是由

可得

由上式可得

上式的意义是：任何质点系在它的质心系中的总动量为零矢量．或者说：任何质点系在它的质心系申遵循动量守恒定律，不论质心系是否受到外部的作用。显然，质心系是一种特殊的参考系。

应用

下面我们应用质心坐标系来处理粒子的斜碰撞。当两粒子不受外力作用，则两粒子的质心相对于惯性系是作匀速直线运动，所以质心系亦是惯性系，故在质心系中动量、能量守恒定律亦成立。在质心系中，两粒子的总动量等于零，即在碰撞前有碰撞后亦有

于是就得出结论：在质心坐标系中，在碰撞前两粒子以相反的方向入射而在碰撞后两粒子以相反的方向出射，亦即在质心系中，动量守恒定律要求两个粒子的散射角是相等的，都等于。而根据动能守恒有

以动量守恒定律代入，得

所以有亦即在质心系中，两个粒子作非对心弹性碰撞，碰撞的结果是使每个粒子运动方向发生改变，但运动速率不变。至于粒子入射方向与出射方向的夹角，即散射角则单由动量守恒和能量守恒定律是不能确定的，散射角可以取从0到之间的任何值。

质心坐标系与实验室坐标系的关系

由于在实际工作中容易测定的是在实验室坐标系中的散射角而不是质心系中的散射角，所以还必须建立起质心系和实验室系的关系。

先求在实验室系中质心的速度。根据质心的定义得知，质点组的总动量应等于质点组的总质量和质心速度的乘积，由下图2得。由此求出质心相对于实验室系的速度等于。由于粒子除相互作用外不受外力作用，所以由粒子组成的质点组总动量守恒，亦即在整个碰撞过程中，粒子的总动量永远等于。因此，在整个碰撞过程中质心速度。的方向永远平行于入射粒子的入射速度，亦即沿着与x轴平行的方向。

根据由伽利略变换得出的速度合成定理，可以求得入射粒子和靶粒子相对于实验室系与质心系的入射速度和出射速度之间的关系：

由图1和图2得

而质心相对于实验室系的速度为。代入速度合成定理，由得。由得，由得

即

由

得

即

由此得出入射粒子在实验室系中的散射角和在质心系中的散射角之间的关系为，而靶粒子在实验室系中的散射角和在质心系中的散射角之间的关系为。

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