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费尔巴哈定理

数学定理

费尔巴哈定理描述了三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆的位置关系。是平面几何学中十分优美的定理之一。

定理叙述
三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切。
定理证明
设△ABC的内心为I，九点圆的圆心为V。三边中点分别为L，M，N，内切圆与三边的切点分别是P，Q，R，三边上的垂足分别为D，E，F。
不妨设AB ＞ AC。
假设⊙I与⊙V相切于点T，那么LT与⊙I相交，设另一个交点为S。
过点S作⊙I的切线，分别交AB和BC于V，U，连接AU。
又作两圆的公切线TX，使其与边AB位于LT的同侧。
由假设知 ∠XTL=∠LDT
而TX和SV都是⊙I的切线，且与弦ST所夹的圆弧相同，于是 ∠XTL=∠VST
因此 ∠LDT=∠VST
则 ∠UDT+∠UST=180°
这就是说，S，T，D，U共圆。
而这等价于：LU×LD=LS×LT
又 LP2=LS×LT
故有 LP2=LU×LD
另一方面，T是公共的切点，自然在⊙V上，因此 L，D，T，N共圆，进而有 ∠LTD=∠LND
由已导出的S，T，D，U共圆，得
∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B
而 ∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B
（这里用了LN∥AC，以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）
所以，就得到 ∠AVU=∠C
注意到AV，AC，CU，UV均与⊙I相切，于是有
∠AIR=∠AIQ ∠UIS=∠UIP ∠RIS=∠QIS
三式相加，即知 ∠AIU=180°
也即是说，A，I，U三点共线。
另外，AV=AC，这可由△AIV≌△AIC得到。
（这说明，公切点T可如下得到：连接AI，并延长交BC于点U，过点U作⊙I的切线，切点为S，交AB于V，最后连接LS，其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T。）
连接CV，与AU交于点K，
则 K是VC的中点。
前面已得到：LP2=LU×LD
而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV
即 LP=BV
然而 LK是△CBV的中位线
于是 LK=BV
因此 LP=LK
故 LK2=LU×LD
由于以上推导均可逆转，因此我们只需证明： LK2=LU×LD。
这等价于：LK与圆KUD相切
于是只需证：∠LKU=∠KDU
再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位线），即有
∠LKU=∠BAU
又AU是角平分线，于是 ∠LKU=∠CAU=∠CAK
于是又只需证：∠CAK=∠KDU
即证：∠CAK+∠CDK=180°
这即是证：A，C，D，K四点共圆
由于 AK⊥KC（易得），AD⊥DC
所以 A，C，D，K四点共圆。
这就证明了⊙I与⊙V内切。
旁切圆的情形是类似的。
证毕
另略证：
OI^2=R^2-2Rr
IH^2=2r^2-2Rr'
OH^2=R^2-4Rr'(其中r'是垂心H的垂足三角形的内切圆半径，R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径)
FI^2=1/2(OI^2+IH^2)-1/4OH^2=(1/2R-r)^2
FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半。F是九点圆圆心，I为内心）
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