托里拆利点

数学概念

在三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点（Torricelli's point ），而三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆。在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔马点等是一回事。托里拆利点是由意大利物理学家托里拆利发现的。该问题是费马德国斯太纳((1796-1863)独立提出并推广了它，故又称斯太纳问题。

基本介绍

在的外侧分别作正三角形，这三个正三角形的外接圆(托里拆利圆)相交于一点M，则点M称为托里拆利点。三个内角皆小于120°的的托里拆利点有如下特性：它到三顶点的距离之和AM+BM+CM是三角形内点中到三顶点距离之和中最小的。

意大利学者托里拆利(E.Torricelli，1608-1647)，首先研究了托里拆利点的问题，因而得名。

在一定条件下，托里拆利点和正等角中心、费尔玛点是同一点，只不过提出的角度不同。托里拆利点是从共点圆方面提出，正等角中心是从共点线方面提出，费尔玛点则是从几何极值方面提出的。

相关介绍

《将军巡营》解

三座兵营分别设置在大片开阔地的三处，将军经常要去巡视。他从自己的指挥所出发，到达第一兵营后回到指挥所；再去到第二兵营后回到指挥所；最后又去到第三兵营后回到指挥所。一天，他忽然想到要把指挥所搬到少走路程的地方，却拿不定主意，不知指挥所应放在哪儿才合适。

这则民间传说引起许多人的兴趣，进行研究这个问题的大有人在。经历了不知多少年，谜底始终没有被揭开，便一直成为悬案，称为(将军巡营)问题。

以每座兵营为一个点，三座兵营作为顶点，便构成—个三角形。那么，指挥所可拟作三顶点以外的另一个点，于是问题可以叙述为：试确定一点，使它至三顶点往返的距离和为最小。

往返的距离和最小，相应地，单程的距离和也最小。这样，《将军巡营》问题实质上就是“试求一点，使它到已知三角形的三顶点距离之和为最小。”这样一个极值问题。

根据那则民间传说提出这个极值问题的就是费马，后人从他致意大利物理学家托里拆利(1608-1647)的信中见到它。

对于这类几何极值的问题，费马相当熟悉它的解法。

最简明的解法是应用“等角特征”原理。见图2，如果三角形ABC中有一点P，那么，当时，这点便是费马所提出求解的那个点，即P点是到A、B、C三点距离之和最小的点。若另取一点，必有

《将军巡营》问题是由费马解决的，将军的指挥所放在哪儿?也是费马向托里拆利提出的那个点，后人称为“费马点”。

显然，要使确定的P点产生三等角，只有当三角形的每个内角都小于120。时才存在。这样，费马点究竟在哪儿，就有以下答案：

若已知三角形的每个内角都小于120°，则所求的点即是与三顶点构成三等角的点：若已知三角形有一内角大于或等于120°，则所求的点是这个三角形的最大内角的顶点。

怎样确定费马点?见图3，分别以三角形的三边为—边，向形外作等边三角形，则的任两线交点便是费马点(实际上是三线汇交于一点P)，这点也叫三角形的“正等角中心”。

不过，托里拆利却别出心裁地用另一种方法来定费马点。图3是用共点线考虑的，而托里拆利则按共点圆考虑，分别作三个等边三角形的外接圆，则三圆汇交于一点P(图4)，这是费马点，也叫“托里拆利点”，那三个圆则称为“托里拆利圆”。

一般作法是采刚折衷办法，即仅作—个等边三角形，用一个圆和-—条直线来确定费马。如图5的圆(等边三角形的外接圆)与的交点P就是所要求的点。

实际生活中的费马点也是有模型的。比如，有三个不在一条直线上的三个城镇，以这三个城镇为顶点构成的三角形的内角没有超过120度的。那么，要建造一个大型购物中心，要求从三个城镇到这个购物中心之间都建造一条直线形的公路，为了使造路费用最小，当然要使这三条路的长度之和最小。问购物中心应该建造在何处？答案是：购物中心建造在以三个城镇为顶点构成的三角形的费马点处。

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