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费马问题

数学术语

费马问题(Fermat problem)是著名的几何极值问题。费马(Fermat , P. de)曾提出一问题征解：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极小。”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点。在费马问题中所求的点称为费马点。

简介
平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat,1601–1665）提出的一个著名的几何问题。
1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利（Evangelista Torricelli,1608–1647)的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答（也有一种说法是费马本人实际上已经找到了这个问题的答案，他是为了挑战托里拆利才写信向他“请教”的）：
给定不在一条直线上的三个点 A,B,C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置。
托里拆利成功地解决了费马的问题。他给出的答案是：
△ABC 三条边的张角都等于120°，即满足∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°的点 P（如图2所示）就是到点 A,B,C 的距离之和最小的点。
后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点 A,B,C 距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点（Fermat-Torricelli point），也简称为费马点（Fermat point）或托里拆利点（Torricelli point）。
纯几何解法
费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是纯几何解法。
几何方法解决费马问题，一种思想是把问题中的三条线段 PA, PB, PC“加”在一起或者说拼接在一起，最好是把它们拼接成连接两个定点的一条折线。因为两点之间线段最短，就能很快地确定 PA + PB + PC 的最小值。利用旋转变换能成功地把费马问题中的三条线段以一种非常自然的方式“加到一起”。
只要把△BPC绕点B旋转60°（如图3所示），设点P转到了点P'，点C转到了点C'，于是就有
PC = P'C'， PB = PP' （因为 △PBP' 是等边三角形）
因此就有
PA + PB + PC = PA + PP' + P'C'
上式的右边是连接点A和点C'的一段折线的距离，它一定大于或等于线段AC'的长度，所以我们就得到了不等式：
PA + PB + PC = PA + PP' + P'C' ≥ AC'
显然，如果上面的不等式能取到等号，那么这时候的点P就是到点 A, B, C 距离之和最小的点，也就是费马点。
探讨与证明
若仅用平面几何和极少量解析几何知识按下列提法讨论费马问题，则由
定义1：在△ABC所在平面上找一点P，使PA+PB+PC的值最小。称P为其最小点。
定义2：在△ABC中如果有一点P，使∠APB =∠BPC =∠CPA = 120°，则称P为其费马点。
定理：如果△ABC的三个内角均小于120°，则其最小点就只能是费马点；如△ABC有一个内角大于等于120°，则该内角的顶点就是最小点。
证明一
对任意三角形来说最小点不在△ABC外部。
如果最小点在△ABC外部，则可归纳为图4（1）（含P在一边延长线上 的情形），图4（2）两种情形。
在图4（1）中，显然，PA+PB+PC>AB+AC；
在图4（2）中，显然，PA+PB+PC>P'A+P'B+P'C以上均与P是最小点矛盾，即证。
证明二
锐角三角形的最小点只能是费马点。
1.最小点不在三条边上 。 （包括顶点）
假若最小点P在边上，易知P必是某条边上高的垂足。不妨设是BC边上的高AP的垂足。
如图5（1），以B为圆心，BP为半径作图，A,C必在园外，以A,C为焦点作一过P点的椭圆。
由于直线AP是QB的切线且是椭圆的割线，可在圆B上取到一点P’，使P’在椭圆内且在△ABC内，则P'B=PB，由椭园的轨迹定义
P'A+P'C
故：PA+PB+PC>P'A+P'B+P'C，这与假设P是最小点矛盾，即证。
2.最小点只能是费马点。
由以上证明知，锐角三角形的最小点P只可能在三角形内部。
如图5（2）所示：
设锐角△ABC的最小点为P，假若AP≥AB，则AP+PB+PB>AB+BC
这与P是最小点矛盾，∴AP
同理，AP
以A为圆心，以AP为半径作圆时，B,C两点必在该圆外部。
再以B,C为焦点作一椭圆与圆A外切，切点必是P。若切点是另外一点P'，则P只能在该椭圆外，这时PB+PC>P'B+P'C也与P为△ABC的最小点矛盾。
过P作圆和椭圆的公切线MN，则∠APM =∠APN=90°。
由椭圆切线性质，知∠MPB =∠NPC
∠APB =∠APM+∠MPB =∠APN+∠NPC =∠APC
同理可证：∠APB =∠BPC
故：∠APB =∠BPC=∠APC=120°
具有 以上特性的点称为费马点 。∴P是△ABC的费马点，又由于锐角三角形的费马点是存在且唯一，由同一性，锐角三角形的费马点必是最小点。
证明三
在△ABC中若最大角大于或等于90°而小于120°，则最小点也只能是费马点。
如图6，不妨设90°≤ ∠B ≤120°，依据证明二可让最小点P不在AC上，而若P在AB或BC上，则只能是B点。
事实上，若最小点P是BC上而异于B的点，显然有PA>BA，于是PA+PB+PB>BA+BC，与P为最小点矛盾。然而B也不是最小点。
作出△ABC的费马点P，延长PB到B'，适当选取B’点可使△AB’C的三内角都是锐角，则P也是△AB’C的费马点，由证明二知P是△AB’C的最小点。
PA+PB'+PC＜BA+BB'+BC
不等式两边同减BB'
得 PA+PB+PC＜BA+BC
B不是△ABC的最小点。
故最小点必在△ABC内部。再依照证明二的证明知，当90°≤ ∠B ≤120°时，最小点也只能是费马点P。
证明四
在△ABC中若有一个内角大于或等于120°，则该角的顶点就是这个三角形的最小点。
如图7，由证明三知，最小点不在AC边上。若最小点在AB或CB边上，则必是B点。
若最小点是△ABC内部的某点P，则仿照证明二的证明知∠APC=120°
但∠APC>∠ABC>120°，矛盾。
最小点必不在△ABC内部，故B点是最小点。
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