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赋范线性空间

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赋范线性空间(normed linear space)是在线性空间中引进一种与代数运算相联系的度量，即由向量范数诱导出的度量。赋范线性空间称为Banach空间，是指由范数导出的度量是完备的。

概念
赋范线性空间(normed linear space)是在线性空间中引进一种与代数运算相联系的度量，即由向量范数诱导出的度量。赋范线性空间称为Banach空间，是指由范数导出的度量是完备的。
定义：设是线性空间，函数称为上定义的一个范数，如果满足：
（1）当且仅当；
（2）对任何及，；
（3）对任意，。
称二元体为赋范线性空间。
在是赋范线性空间时，由范数导出的度量为
此时在此度量意义称为度量空间。所以，赋范线性空间是一种特殊的度量空间。点列收敛于，即，有时称这种收敛为依范数收敛。
性质
性质1：设是赋范线性空间，⊂，，若，则是有界点列。
证：，对，存在自然数，当时，。于是
令，那么对一切自然数，均有，即有界。证毕。
性质2：设中点列，及数域中数列满足，则
（1）加法连续：，即；
（2）数乘连续：，即。
证：（1）由，得。
（2）因，由性质1，有界，所以存在常数，满足。于是
故。证毕。
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