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塞瓦定理

意大利数学家塞瓦发现

塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。

证明推导
（1）本定理可利用梅涅劳斯定理(梅氏定理)证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
①
∵△ABD被直线COF所截，
②
②/①约分得：
（2）也可以利用面积关系证明（燕尾定理）
③
同理 ④ ，⑤
③×④×⑤得
定理的推广
①证明三角形三条高线必交于一点:
设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
或者用塞瓦定理的角元形式证明，证明如下:
同角的余角
,
所以三条高CD、AE、BF交于一点。
②三角形三条中线交于一点（重心）:
如图1：已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于F
求证：
证明：
由塞瓦定理得
∴CF为AB边上的中线
∴三角形三条中线交于一点（重心）
③用塞瓦定理证明三条角平分线交于一点
如图1，
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是）
推论
1.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(简记为不相邻三条线段所对角的正弦值之积等于另外三条线段)
由正弦定理及三角形面积公式易证。
2.如图2，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证
数学意义
使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。
记忆方法
塞瓦定理的优点多多，但是却不是特别好记，这里有一个方法。
相当于
可以发现,左右两端字母一样
可以作如下表述，在记忆时，可理解为在符合在三边线段的前提下，分母分子字母一样，且分母、分子内部有相同字母.。
另外一种记忆方式是，将图2中的ABC作为顶点，图2中的DEF作为分点，则可以看做是：顶点到分点（BD），该分点到另一顶点（DC），顶点再到分点（CE），分点再到顶点（EA），顶点再到分点（AF），分点再到顶点（FB）。
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