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超几何函数

数学术语

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。

超几何级数
当 c不是0,-1,-2...时，对于|z|<1，超几何函数可用如下幂级数定义
其中 是Pochhammer符号，定义为:
当a或b是0或负整数时级数只有有限项。
对于满足|z|≥1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。
特殊情形
很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：
合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下
因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。
勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如
很多多项式，例如贾可比多项式P(α,β)
n及其特殊情形勒让德多项式，车比雪夫多项式，Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示
其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式，Meixner多项式，Meixner–Pollaczek多项式。
椭圆模函数有时能表示成参数a,b,c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若
则
是τ的椭圆模函数.
不完整的beta函数Bx(p,q) 表示成
完整的椭圆积分K和E如下给出
超几何方程
超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数）
展开后，得
它有三个正则奇点：0, 1, ∞.
变换公式
分式线性变换
Pfaff 变换
Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的β与μ对换）：
由a,b的对称性自然有：
Euler 变换
Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数β变成 -β：
Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。
将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。
给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（Fα,β,μ恒等于Fα,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。
例如 Euler 变换可以表示为：
二次变换
下面是一个二次变换的例子：
二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。
三次高次变换
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。
另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。
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