超弹性

力学术语

超弹性 (hyperelasticity) 是指材料存在一个弹性势能函数，该函数是应变张量的标量函数，其对应变分量的导数是对应的应力分量，在卸载时应变可自动恢复的现象。应力和应变不再是线性对应的关系，而是以弹性能函数的形式一一对应。

定义

超弹性 (hyperelastic) 是指材料存在一个弹性势能函数，该函数是应变张量的标量函数，其对应变分量的导数是对应的应力分量，在卸载时应变可自动恢复的现象。应力和应变不再是线性对应的关系，而是以弹性能函数的形式一一对应。

常见模型

超弹性是描述一种应力应变关系非线性的材料的一种模型，例如橡胶，泡沫等。只要满足以上的定义的模型皆可称之为超弹性材料模型。常见的超弹性模型有St Venant-Kirchhoff模型，Fung模型，Neo-Hookean模型，Mooney-Rivlin模型，Ogden模型等。

St Venant-Kirchhoff模型

St Venant-Kirchhoff模型应力张量、应变张量和弹性能满足以下关系：

其中 S为Second Piola-Kirchhoff应力张量，E为lagrangian Green应变张量，alfa和mu为拉梅常数。

弹性能W满足以下关系式：

根据超弹性的定义可以验证：

其它超弹性模型

其它超弹性模型对应力张量、应变张量和弹性能的定义虽然各有不同，但是皆满足类似的超弹性模型的关系式。

研究发展

关于超弹性物质方面的研究一直是当前固体力学和应用数学研究的重大前沿课题。近年来，无论是超弹性有限变形理论，还是材料和结构的失稳方面的研究，都取得了相当大的进展。早在1894年，Finger就完成了超弹性材料的有限变形理论，但是由于由有限弹性理论给出的方程十分复杂而难以求解，使得这方面的研究进展十分缓慢。随着一计算机领域的发展，精密的数学分析工具的日趋成熟，以及张量分析的大量应用，特别是Rivlin等人找到了一系列简单而重要的问题的精确解，使得关于有限变形问题的研究重新焕发青春。

非线性科学中关于分岔现象的研究可追溯到Poincare对天体的演化规律的研究在他的研究中预言了天体演化的全局变化和分岔，揭示了非线性问题解的非唯一性。在弹性力学中，Euler对直杆在轴力作用下的分岔现象也进行了仔细的研究。但是由于当时缺乏必要的数学工具，所以在较长的时间内分岔问题的研究进展缓慢.直到近代，由于非线性泛函分析和非线性常微分方程理论的日趋成熟，特别是变分方法、拓扑方法的应用和Liapunov稳定性理论的出现，使得分岔理沦以及动力系统的理论取得了长足的进步。在此基础上出现了一大批利用这种近代分岔理论对各种非线性问题中出现的分岔、失稳现象的研究成果。

应变能函数

所谓的超弹性物质，又称为Green弹性物质，是一种特殊的弹性物质，它的本构关系可以完全地由其应变能函数给出。正因如此，如何寻求一个合理的应变能函数来正确描述其本构关系便成为研究超弹性材料力学性态的关键。日前，关于应变能函数的构造己经取得了一定的进展一方面，Treloar、徐立、Chalton和Yang、 Boyce和Arruda等人从分子统计热力学的网络理论的方法得到了应变能函数的形式，这种方法的优点是和超弹性材料的高分子物理性能相结合，有助于理解高分子性能，可以提供材料参数的物理意义;另一方面，从连续介质力学的唯象理论的观点出发，可以利用实验的方法，通过简单变形模式得到材料的应力应变关系曲线，然后利用各种拟合方法来确定相应的应变能函数形式。唯象理论最早是由Mooney在1940年给出的，他通过大量的实验证实了某些类型橡皮的力学性能可用弹性势函数来掐述，而且证实了橡皮几乎是不可压的，从而提出了不可压Mooney应变能函数模型.后来Rivlin对此做了进一步的改进，并且得到的应变能函数的形式与实验结果相吻合.在此基础上，Valanis和Landel、Ogden等许多人在这方面做了大量的有意义的工作。用唯象理论得到的应变能函数的形式一般都可以用变形张量的主不变量或伸长张量的主值来表示，然后通过实验来确定应变能函数中的材料常数。此外，Truesdell、NollColeman、Eringen以及Rivlin等理性力学家从“本构公理”的思想出发，经过严格的数学演绎，得到了简单物质的质谱素，完善了本构关系的公理化体系.特别地，他们还给出了为保证超弹性材料的物理性能的理想化而必须满足的一些本构不等式。

相关问题求解

超弹性理论中的有限变形问题及求解

超弹性理论中的有限变形问题最终可以归结为非线性微分方程的(初)边值问题。由于控制方程非常复杂，要得到这样问题的精确解是非常困难的，这方面最早的代表性工作参见Rivlin的工作，对于各向同性的不可压超弹性材料，Rivlin、Green和Shield、Ericksen等人根据不可压条件求得了一系列轴对称和球对称问题的普适解，如圆筒受内压、圆柱体的扭转、长方体的弯曲、气球的膨胀等等。其中Ericksen指出了对于不可压超弹性材料除均匀变形外，还有其他五种非均匀的普适变形。他们求得的普适解的最大特点是在忽略体积力时，弹性物质的普适变形可以通过表面拉伸载荷来控制，并且由于它们与材料的应变能函数无关，所以通过测定作用于物体边界面上表面应力的响应，即可决定物质的特性，使得它们在实验技术中具有重要的应用价值。对于可压缩超弹性材料，1955年，Ericksen证明了一个重要的结论：对于各向同性的可压缩弹性物质的普适变形只有均匀变形一种。此后，Carroll、W'illiarn、Hill、Murphy、Zidi等。许多人受到这个结论的启发，进而求得了几类特殊的可压缩超弹性材料在轴对称和球对称变形假设下封闭形式的解析解.对于球对称和轴对称问题，控制方程是一个二阶常微分方程，通常可以采用换元积分的方法对问题的控制微分方程进行求解，基本求解步骤是首先通过换元将二阶微分方程降阶，然后进行积分，最后利用边界条件确定待定的积分常数，从而得到问题的解析解.但是对于一般形式的可压缩超弹性有限变形问题而言，只能使用一些近似方法或数值方法，来寻求问题的近似解析解或数值解，如逐次逼近法，有限元法等等。

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