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距离

数学概念

在数学中，距离是泛函分析中最基本的概念之一。它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛函分析首先接触的概念。距离，是指任意二点之间的线段的长短。

定义
设是任一非空集，对中任意两点有一实数与之对应且满足：
(1)非负性、同一性：，且当且仅当；
(2)对称性：；
(3)直递性：。
称为中的一个距离，定义了距离的集称为一个距离空间，记为，在不引起混乱的情形下简记为。
示例
本节共提供三个例子。
例1 设是元实数组全体，令
，
其中，，。
我们证明是一个距离空间，为此我们需要验证满足距离的三条公理。(1)，(2)显然成立，关键是证明(3)成立。我们先证明一下Cauchy不等式：对任意实数，，我们有
。
事实上，任取实数，则
，
上面等式左端是的一个二次三项式，于是它的判别式不大于0，即Cauchy不等式成立。
下面证明(3)成立，由Cauchy不等式，得
。
设是任意三点，在上面不等式中令，则
，
即
。
所以是一个距离空间，我们把这个空间简记为。
例2 考虑区间上所有连续函数集，设是上任意两个连续函数，定义
，
由于也是上的连续函数，因此有最大值。距离公理(1)(2)显然成立。设是上任意三个连续函数，则
。
所以
。
由此可知上的连续函数全体赋以上述距离是一个距离空间，记为。
例3 考虑实数列的全体。设是两个实数列，定义
上式右边的是一个收敛因子，保证级数收敛，距离公理的(1)(2)显然成立，为证明(3)成立，考虑上的函数
，
易见，所以是单增的。由此，设。由于
，
则有
。
在上不等式两边乘并求和，得到
。
我们称这个距离空间为。
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