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轴反射变换

欧氏几何中的变换

轴反射变换(axial reflection transformation)简称轴反射，是欧氏几何中一种重要变换。在欧氏平面上或欧氏空间中，把任一点A映成关于给定直线S对称的点A′的变换称为关于直线S的轴反射变换，直线S称为反射轴。平面轴反射是第二种正交变换，空间轴反射变换亦称半周旋转，它是旋转角为π的空间绕反射轴的旋转，因而是第一种正交变换。在轴反射变换下，连结每一对对应点A，A′所得到的线段都垂直于S，且被S所平分，反射轴上的每一点都是不动点，在平面直角坐标系中，若以x轴为反射轴，则轴反射的代数表达式为x'=x，y'=-y，其中(x，y)，(x′，y′)分别是变换前的点与它的对应点的坐标。

基本介绍
设 是平面 的一条定直线，如果平面 的一个变换，使得对于平面 上不在直线 上的任意一点A与其对应点A’的连线AA'恒被直线 垂直平分，而直线l上的点都不动，则这个变换称为平面 的轴反射变换，记作 。其中定直线 称为反射轴(图1)。
按定义即知，反射轴上的点都是轴反射变换的不动点，且轴反射变换是可逆的，其逆变换就是自身。即
显然，轴反射变换由反射轴唯一确定，也可由两个非不动点的对应点唯一确定。
点A在轴反射变换 下的像A’也称为图形F关于直线l的对称点；一个图形F在轴反射变换 下的像F''则称为图形F关于直线l的对称图形，也称图形F与F'关于直线l对称(图2)。
相关定理
定理1 轴反射变换是镜像合同变换。
证明 设 是平面 的一个轴反射变换，对平面 上的任意两点A、B，设 。
(1)如果A、B两点都在反射轴f上(图3)，则A’=A，B’=B，此时显然有A’B’=AB。
(2)如果A、B两点中仅有一个点在反射轴l上，不妨设点A在l上(图4)，则A’=A，由于A是线段BB’的垂直平分线l上的点，因此AB’=AB，即A’B’=AB。
(3)如果4、B两点都不在反射轴l上(图5和图6)，设线段AA’、BB'与l的交点分别为M、N，则M、N分别为线段AA’、BB’的中点，所以MA’=MA，MB'=MB，且。于是，由得
所以，，从而A’B’=AB。
综合(1)，(2)，(3)即知，S(l)是一个合同变换。
再设A、B是反射轴l上的两个不同的点，而C是平面上不在l上的一点(图7)，则A、B是S(l)的两个不动点。设，则与是S(l)的两个对应三角形，因l垂直平分线段CC’，所以C’、C分布在直线l的两侧，从而与异向。故S(l)是平面的一个镜像合同变换。
由相关定理知轴反射变换同样具有合同变换的一切不变性质和不变量。
定理2 设S(l)是平面的一个轴反射变换，则
(1)点A是S(l)的不动点当且仅当A在反射轴l上；
(2)直线m是S(l)的不变直线当且仅当或m与l重合。
证明 (1)由轴反射变换的定义即知。
(2)当或m与l重合时，由轴反射变换的定义即可知m是S(l)的不变直线。反之，设m是轴反射变换S(l)的一条不变直线。如果m上的每一个点都是S(l)的不动点，由(1)即知m与l重合，如果直线m上存在S(l)的一个非不动点，设，则A’≠A。因m是S(l)的不变直线，所以A’也在直线m上，由轴反射变换的定义知，反射轴l垂直(平分)线段AA'，而A、A'是直线m上的两个不同的点，故。
定理3 在轴反射变换下，任意一条非不变直线与其对应直线或相交于反射轴上，或皆与反射轴平行，并且反射轴上任意一点到两对应直线的距离相等。
证明 设S(l)是平面的一个轴反射变换，平面上的直线m是S(l)的一条非不变直线，，则m'≠m，若m与l相交于一点A(图8)，因A在反射轴l上，所以A是S(l)的一个不动点，又A在直线m上，所以A也在其像直线m’上，即直线m'与m相交于反射轴l上的点A；若m∥l，而m’与反射轴l交于一点P，则由于m、m'互为像直线，所以直线m与l也交于P，这与m∥l矛盾，因此必有m'∥l(图9)。
当m’与m相交于反射轴l上的一点A时(图8)，在直线m上任取一点B，B≠A，并设，则因l垂直平分线段BB'，所以l平分∠BAB’。从而反射轴l上的任意一点到直线m与m'的距离相等，当m’∥z∥m时(图9)，在直线m上任取一点A，设，则A’在直线m上，且。因l垂直平分线段AA'，所以，l到直线m与m'的距离相等，即反射轴l上任意一点到直线m与m’的距离相等。
最后指出，轴反射变换作为一个合同变换，当然会保持两直线的夹角大小不变，但轴反射变换是一个镜像合同变换，因此它已经改变了角的方向，这个性质称为轴反射变换的反向保角性。
三种合同变称——平移变换、旋转变换、轴反射变换是三种基本的合同变换，前两种是真正合同变换，后一种是镜像合同变换．这三种合同变换各有自己区别于其他合同变换的一些独特的性质，这三种合同变换基本上穷尽了平面上的所有合同变换。
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