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辛普森积分法

抛物线形公式

辛普森积分法是一种用抛物线近似函数曲线来求定积分数值解的方法。把积分区间等分成若干段，对被积函数在每一段上使用辛普森公式，根据其在每一段的两端和中点处的值近似为抛物线，逐段积分后加起来，即得到原定积分的数值解。辛普森积分法比梯形法则更精确，二者都是牛顿-柯特斯公式（Newton-Cotes）的特例。

公式
设要求定积分 。
将闭区间等分成 个小区间 。在每个小区间上，用抛物线近似函数 的曲线。
设 。
可得到近似值 。
误差
最大误差为 ，其中 是 在 上的最大值。
与梯形法的关系
辛普森积分法可以看作梯形法则做 Richardson 外推加速的结果。
对于积分 ，如果仅用偶数号的数据点做梯形法积分，得到结果
而如果用全部的数据点做梯形法积分，则得到
由于梯形法积分的误差是 O(1/n2)，而 I2 的数据点比 I1 多一倍，故其领头阶误差为后者的 1/4。于是列出外推方程 I – I1 ≈ 4(I – I2)，解得 I ≈ (4I2 – I1) / 3。经计算
可见梯形法外推的结果恰好为辛普森公式。用 Richardson 外推加速可以提高积分公式的代数精度。梯形法的代数精度为 1，而辛普森法为 3，即当 f(x) = xm 时，辛普森公式对 m = 0, 1, 2, 3 严格成立。这使得辛普森公式的误差为 O(1/n4)，随区间数目 2n 趋于零的速度更快。
推广形式
辛普森积分法可以推广到一种参数形式如下：
可以验证，上式的代数精度为 3，即当 f(x) = xm，g(x) = xk，自然数 m 和 k 满足 m + k ≤ 4 时，上式严格成立。上式还严格满足分部积分法。当 g(x) = x 时，上式还原为普通的辛普森积分公式。
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