辛空间

数学术语

辛空间(symplectic linear space)是一个数学术语，在数学上，辛空间是一类有特殊结构的向量空间。设V是特征≠2的域K上的向量空间，ω是V上一个反对称2形式。若ker ω={0}，则称ω为V上的一个辛形式。此时，(V，ω)就称为辛空间。V是偶数维的。

线性空间

线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域.若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域。当P是实数域时，V称为实线性空间。当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间。V中向量就是m×n矩阵。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton，W.R.)首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年，他与柯西(Cauchy，A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。

辛空间定义

辛空间(symplectic linear space)是一种特殊的复线性空间。指带非退化反对称双线性函数的有限维复线性空间。设V是复数域C上的n维线性空间，若在V上定义了一个非退化反对称双线性函数，则称V为辛空间。在2n维辛空间内存在这样的基底ε1，ε2，…，ε2n，关于它的格拉姆矩阵为：

其中：。

2n维辛空间的每一线性变换σ，都存在它的共轭变换σ。若以A，B分别表示σ与σ关于给定基的矩阵，则B=GA′G，其中G是关于给定基的格拉姆矩阵，A′是A的转置矩阵。2n维辛空间的线性变换σ是对称(反对称)的充分必要条件是σ关于基α1，α2，…，αn的矩阵A与A的转置矩阵A′有关系A′G=GA，其中G是关于基α1，α2，…，αn的格拉姆矩阵。

辛群

一类重要的群。是辛空间的自同构群。设(V，ω)是一辛空间，若φ：V→V是线性同构且满足ω(φX，φY)=ω(X，Y)，X，Y∈V，则称φ为(V，ω)的一个自同构。(V，ω)的自同构全体构成群GL(V)的一个子群，记为SP(V，ω)。特别地，标准辛空间(K，ω)的自同构群记为Sp(2n，K).若K=R(实数域)，则把Sp(2n，K)简记为Sp(2n)并称它为2n维辛群。

若V是域K上2m维列向量空间，f是V的非退化的交错双线性型，则使f(Ax，Ay)=f(x，y)对所有的x，y∈V成立的线性变换A∈GL(V)称为关于f的辛变换。关于f的全体辛变换在映射乘法下构成的群称为辛群，记为Sp2m(K，f).由不同的f决定的辛群Sp2m(f，K)相互同构。因此，不妨取：

并将相应的辛群记为Sp2m(K)，这里：

从矩阵观点来看，

辛变换的行列式都是1，辛群的中心为{±I}。

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