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边值问题

数学术语

边值问题是定解问题之一，只有边界条件的定解问题称为边值问题。二阶偏微分方程(组)一般有三种边值问题：第一边值问题又称狄利克雷问题，它的边界条件是给出未知函数本身在边界上的值；第二边值问题又称诺伊曼边值问题或斜微商问题，它的边界条件是给出未知函数关于区域边界的法向导数或非切向导数；第三边值问题又称鲁宾问题，它的边界条件是给出未知函数及其非切向导数的组合。

概括
应用领域
最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，后来是用狄利克雷原理找到相关的解。物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。许多重要的边值问题属于Sturm-Liouville问题。这类问题的分析会和微分算子的本征函数有关。在实际应用中，边值问题应当是适定的（即，存在解，解唯一且解会随着初始值连续的变化）。许多偏微分方程领域的理论提出是为要证明科学及工程应用的许多边值问题都是适定问题。在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。
分类
根据条件的形式，边值条件分以下三类：
①第一类边值条件：也称为狄利克雷边界条件，直接描述物理系统边界上的物理量，例如振动的弦两端与平衡位置的距离；
②第二类边值条件：也称为诺伊曼边界条件，描述物理系统边界上物理量垂直边界的导数的情况，例如导热细杆端点的热流；
③第三类边值条件：物理系统边界上物理量与垂直边界导数的线性组合，例如，细杆端点的自由冷却，温度、热流均不确定，但是二者的关系确定，即可列出二者线性组合而成的边值条件。
狄利克雷问题
概念
许多数学物理问题可以化为根据区域边界上的已知值作出在区域内的调和函数，这类问题称为狄利克雷问题。
求出一个在区域D内调和并且在 上连续的函数u(z)，使它在C上取已知值 ：
例如，在某区域内求流体(无源、无旋)的速度或静电场(无电荷)的电位，当这区域边界上的速度或电位已经知道时，这便是狄利克雷问题。
唯一性定理
先来证明狄利克雷问题的解的唯一性定理：
定理1 在已知区域D，对于给定的边界值 ，狄利克雷问题的解不能多于一个。
证明 假设 与 是狄利克雷问题的两个解，则 - 在区域D内调和，在 上连续，沿C， - 0，(因沿C， )由定理2， -在 上的最大值与最小值两个都等于零，因而在 上， - 0；由此可见，在 上 ，于是定理得证。
定理2一个在区域D内不为常数的调和函数，不可能在这区域的内点达到最大值或最小值。
斜微商问题
求解满足斜微商边界条件的椭圆型方程的解的问题，形如
的边界条件称为斜微商边界条件，若向量b=(b1,b2,…,bn)的法向分量bν在∂ Ω上非零，则称上述条件为正则斜微商边界条件。
第三边值问题
对二阶椭圆型方程求边界上解与其法向导数的线性组合为已知的解，设Ω为R中的有界域，求在Ω中满足方程
在闭域Ω-上连续,在Ω的边界Γ上满足条件
的解的问题称为第三边值问题或者鲁宾问题，这里ν为外法线，如果c(x)≤0且c与β不都恒为0，那么第三边值问题的解是惟一的。特别地，拉普拉斯方程的第三边值问题:在Ω中Δu=0，在Γ上
的解唯一。
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