进位

数学计算的一种运算形式

在基本算术中，进位是一种运算形式，加法运算中，每一数位上的数等于基数时向前一位数进一，它是标准算法的一部分，通过从最右边的数字开始合并然后传递到左边。例如，当在十进制下计算6和7的和等于13时，“3”被写入右边一列，而产生的进位“1”被写到左边。当用于减法时，该操作称为借位。

简介

进位就算是在高等数学中也是会出现的。在计算中，进位是加法器电路的重要功能。

以个位向十位进位为例：基数为10（2进制的基数是2，类推），个位这个数位上的数量达到了10的情况下，则个位向前一位进1，成为一个十。

在十进制的算法中，个位满十，在十位中加1；十位满十，在百位中加一。

在二进制的算法中，个位满二，在十位中加1；十位满二，在百位中加一。

以此类推。

手动计算

进位的典型例子：

7 + 9 = 16，数字1是进位。

相反的是借位，如下

这里，7 - 9 = -2，所以尝试（10 - 9）+ 7 = 8，10是从左边的下一个数字中取（“借”）1。方式有两种：

（1）十位数向下一个数字转换，在本例中，在十列中为3 - 1。根据这种方法，“借”这个词是一个不正确的词，因为十是从来没有回报。

（2）十位数从左下一个数字复制，然后通过将其添加到“借用”列中的减号中“给予回报”，在本例中，在第十列中列出了4 - （1 + 1）。

数学教育

传统上，在小学二年级或后期就讲授了进位这个概念。然而，自20世纪末以来，许多广泛采用的在美国开发的课程，如TERC，省略了传统方法的指导，都是一些发明的算术方法，以及使用操纵和图表的方法。这样的遗漏被数学群体批评，一些州和地区已经放弃了这个实验，尽管它仍然被广泛使用。

高等数学

库默尔定理指出，在p中加入两个数字的进位数相当于除以某个二项式系数的p的最大幂的指数。

当添加多个数字的几个随机数时，进位数字的统计数据与欧拉数字和混合随机排列的统计值有意想不到的关联。

在抽象代数中，两位数字的进位操作可以使用组同调语言进行形式化，这个观点可以应用于实数的替代表征。

计算

当谈到像加法器这样的数字电路时，进位字在类似的意义上被使用着。

在大多数计算机中，算术运算（或从移位操作中移出的位）的最高有效位的进位置于特殊进位位中，该进位位可用作多精度运算的进位或测试并用于控制计算机程序的执行。相同的进位位也通常用于指示减法中的借位，尽管由于二进制补码运算的影响，该位的含义被反转。通常，进位位值“1”表示加法溢出ALU（加法器），并且在添加长度大于CPU的数据字时必须加以说明。对于减法操作，采用两个（相反）约定，因为大多数机器在借位时设置进位标志，而某些机器（例如6502和PIC）则以借位（反之亦然）重置进位标志。

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