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连续小波变换

连续小波变换

尽管傅里叶变换及其离散形式DFT已经成为信号处理，尤其是时频分析中最常用的工具，但是，傅里叶变换存在信号的时域与频域信息不能同时局部化的问题。故Dennis Gabor于1946年引入短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform）。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。

短时傅里叶变换（STFT）其窗口函数 通过函数时间轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言，需要时频窗口具有可调的性质，即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此特引入窗口函数 ，并定义变换 。其中，a R且a≠0。该式定义了连续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。
很显然，并非所有函数都能保证上式中表示的变换对于所有f∈L2(R)均有意义；另外，在实际应用尤其是信号处理以及图像处理的应用中，变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段，最终目的需要回到原问题的求解，因此，还要保证连续小波变换存在逆变换。同时，作为窗口函数，为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰减特性，经常要求函数ψ(x)具有如下性质： ≤ ， ≤ 其中，C为与x，无关的常数，ε>0。
原理
1.1连续小波基函数
所谓小波(wavelet)，即存在于一个较小区域的波。小波函数的数学定义是：设ψ(t)为一平方可积函数，即ψ(t)∈L2(R)，若其傅里叶变换Ψ(ω)满足条件：
则称ψ(t)为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可允许条件。
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点；另一方面，根据可允许性条件可知Ψ(ω)|ω=0=0，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。下图为一个小波的例子。
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