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连续方程

流体力学表达式

质量守恒定律是应用于研究大气运动的基本物理定律，其数学表达式成为连续方程（continuity equation）。它表明，速度场与密度场是相互制约的，故连续方程也是描写大气运动的基本方程之一。

定义
质量守恒定律是应用于研究大气运动的基本物理定律，其数学表达式成为连续方程（continuity equation）。
它表明，速度场与密度场是相互制约的，故连续方程也是描写大气运动的基本方程之一。
方程推导过程
考虑一个具有固定质量 的物质体积元，其体积为 （取笛卡尔坐标系，见图 1），则有：
由于物质体积元在运动中质量守恒，因此有（1）式：
又
由图2.7所示，我们发现物质体积元的 y - z面（分别用A,B表示）随气流在 x 方向移动着，A面的速度为 ，B面的速度为 ，A 面和B 面的速度差为
即有 ，类似地有 ，
所以
代入（1）式，得到
或写成（2）式
这就是连续方程。
速度散度
根据连续方程，有
表示速度散度。
速度散度代表物质体积元的体积在运动中的相对膨胀率。因此连续方程的物理意义极为清楚，它表明，当物质体积元在运动中体积增大时（ ），因质量守恒其密度要减小；运动中体积减小时（ ），其密度要增大。
质量净流出率
（2）式还可改写为（3）式：
对于流体中一固定空间体积元而言， 代表每单位空间体积中流体质量的净流比率，这不难加以说明。事实上通过固定空间体积元 A 面（见图 2 ）的质量流入率为
通过B面上质量的流出率为
故 x 方向上运动引起的质量净流出率为
y 和 z 方向上的运动引起的质量净流出率的表达式是类似的。所以从固定体积元中质量的净流出率为
单位体积中的质量净流出率为
因此，（3）式的物理意义也是清楚的，它表明，对于固定空间体积元而言，当有质量流入时（ ），固定体积元的密度要增大；当有质量流出时（ ），固定体积元的密度要减小。
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