连续映射

拓扑空间之间的重要映射

连续映射(continuous mapping)拓扑空间之间的一类重要映射。

定义

设(X,τ)与(Y,τ')是两个拓扑空间，f:X→Y是映射，x∈X。若f(x)的每一邻域关于f的原像是x的邻域，则称f在点x处是连续的。若f在X的任意点是连续的，则称f是(X,τ)到(Y,τ')的连续映射。

等价定义

f为连续映射的等价条件有很多，例如：

1.Y的每一开集的原像是X的开集。

2.Y的每一闭集的原像是X的闭集。

3.对于任意x∈X和f(x)的任意邻域U，存在x的邻域V使得f(V)⊂U。

4.对于X的每一子集A，有f(cl(A))⊂cl(f(A))。

5.对于Y的每一子集B，有cl(f^(-1)(B))⊂f^(-1)(cl(B)).

6.对于任意s∈X和X中每一收敛于s的网{Sn,n∈D,≤} ,Y中的网{f(Sn),n∈D,≤}收敛于 f(s). 抽象空间的连续映射是弗雷歇(Fréchet, M. -R.)于1910年开始考虑的.

在点集拓扑学中．映射的连续性可用ε一δ语言描述，也可用于开集对应来描述。前者适用于度量空间．后者适用于抽象拓扑空间，为了点集拓扑学与数学分析顺利连接，先介绍连续性的ε一δ语言描述，后介绍连续性的开集对应描述。

连续映射的ε-δ语言描述

连续映射用ε-δ语言描述必须分成在一点连续与在定义域上连续两个阶段来定义，且适用于两个度量空间之间的映射：

定义1 设X和Y是两个度量空间，映射f：X→Y;x0∈X，y0=f(x0).若对任一以y0为中心、ε>0为半径的开球 (ε)，存在以x0为中心、δ>0为半径的开球 (δ)，使f( (δ)⊂ (ε)。则称映射f：X→Y在x0处连续.

定义2 设X和Y是两个度量空间，映射f：X→Y。若映射f在每一点x∈X连续．则称f：X→Y是连续映射。

注记1：不难看出，两个度量空问之间映射的连续性用ε一δ语言描述，是用开球对应代替不等式对应。ε一δ的不等式对应只适用于1维度量．ε一δ的开球对应则把连续性的描述扩展到n维度量。当n>3，开球对应中的开球是n维超开球体。

连续映射的开集对应描述

连续映射用开集对应描述无须分成在一点连续与在定义域上连续两个阶段来定义，且适用于两个拓扑空间之间的映射。

定义3 设T和J是两个拓扑空间，映射f：T→J。若每个J中的开集U，其逆象在T中也是开集，则称f：T→J连续映射．

注记2：用开集对应描述映射连续性的时候，可以撇开度量性。无须分成在一点连续与在定义域上连续两个阶段，这是ε一δ语言与开集语言的最大区别。

简介

连续映射(continuous mapping)是拓扑空间之间的一类重要映射。