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连通关系

数学术语

连通关系(connected relation)亦称弱连通关系、严格可比关系，是一种特殊的关系。在类K中，对于一个关系R来说，如果类K中任意两个不同的个体x，y，至少使二公式：xRy，yRx中有一个为真，则称关系R在类K中是连通的关系。例如，在实数域中大于关系、小于关系就都是连通的关系。

基本介绍
连通关系是指任意两个不同的事物之间，与其反关系总有一个成立的那种关系。集合A上的二元关系R，对任何a，b∈A，a≠b有aRb或bRa，用符号表示：R是A上的连通关系∀a∀b(a∈A∧b∈A∧a≠b→aRb∨bRa)。当R是A上的连通关系时，称R在A上是连通的，或称A上的关系R有连通性。
例如，实数集上的小于关系“<”是连通的，“≤”也是连通的.A上关系R是连通的，当且仅当它把A中任何两个不相同的元素都联系起来。如R的矩阵为MR=(rij)λ，则对任何i，j∈λ，i≠j时rij与rji中至少有一个是1；如R是连通的，则R是连通的，且R∪R-1的矩阵主对角线以外的元素全为1；若R，G是连通的，则R∪G也是连通的。
相关介绍
非空集X上的二元关系R，为X中元素所有序对的乘积集合X×X={(x，y)：x,y∈X}的子集，我们写成xRy(x与y有关系R)，这就是说，(x, y)处于关系R中，同样，非(xRy)意为(x,y)不是处在关系R中，即x与y没有关系R。
二元关系的八种内在属性，按以下四组关系列出，定义的表示式意即对X所有元素x, y, z都适用，
自反性：xRx；
非自反性：非(xRx)；
对称性：如xRy，则yRx；
反对称性：如xRy，则非(yRx)；
传递性：如xRy且yRx，则xRz；
负传递性：如非(xRy)且非(yRz)，则非(xRz)；
连通性：xRy或yRx；
弱连通性：如x≠y则xRy或yRx。
除了最后两项，其他都是标准术语，连通性常常称做强连通性或完备性，弱连通性有时也叫做完备性，连通性或弱连通性。这里，名词就按以上定义的使用。
第一组两个性质是相反的(不能同时并存)，但对后面三组就不是这样。比方说，反对称和负传递性蕴含传递性，连通性蕴含弱连通性，而对称与反对称仅当R为空集时并存。假如R非空，则对称性与反对称性为相反互斥。
设X为所有活人的集合:则“高于”就是非“自反”、反对称、传递的和负传递的；“如....一样老’就是自反的，传递的，负传递的和连通的；“为.....的姐妹”(至少同父或同母)是对称的(无传递性，为什么?)，而“知道....的名字”解释健忘症，对上面八个属性都不满足。
传递的二元关系称为序或序关系.可惜， 序关系名词的使用不是一致的。例如，非对称，传递的和弱连通的关系(如在实数集合中的“大于”)，使用着不同的称呼，如线性序、强序、简单序、整序、全序、连通序和链等名称，其中有些也用来命名其他特征定义的序。因之，当提到某一类型的序的时候，重要的是要弄清它的定义特性。
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