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迪克斯特拉算法

狄克斯特拉于1959 年提出的计算机算法

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。一篇发表于2024年的论文证明了迪克斯特拉算法具有普遍最优性。

定义
Dijkstra算法一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。
原理
1.首先，引入一个辅助数组(vector)D，它的每个元素D 表示当前所找到的从起始点 （即源点 ）到其它每个顶点 的长度。
例如，D[3] = 2表示从起始点到顶点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法执行过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。
2.D的初始状态为：若从 到 有弧（即从 到 存在连接边），则D 为弧上的权值（即为从 到 的边的权值）；否则置D 为∞。
显然，长度为 D = Min{ D | ∈V } 的路径就是从 出发到顶点 的长度最短的一条路径，此路径为( )。
3.那么，下一条长度次短的是哪一条呢？也就是找到从源点 到下一个顶点的最短路径长度所对应的顶点，且这条最短路径长度仅次于从源点 到顶点 的最短路径长度。
假设该次短路径的终点是 ，则可想而知，这条路径要么是( )，或者是( )。它的长度或者是从 到 的弧上的权值，或者是D 加上从 到 的弧上的权值。
4.一般情况下，假设S为已求得的从源点 出发的最短路径长度的顶点的集合，则可证明：下一条次最短路径（设其终点为 ）要么是弧( )，或者是从源点 出发的中间只经过S中的顶点而最后到达顶点 的路径。
因此，下一条长度次短的的最短路径长度必是D = Min{ D | ∈V-S }，其中D 要么是弧( )上的权值，要么是D ( ∈S)和弧( , )上的权值之和。
算法描述如下：
1）令arcs表示弧上的权值。若弧不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到的从 出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从 出发到图上其余各顶点 可能达到的长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G, )]， ∈V；
2）选择 ，使得D =Min{ D | ∈V-S } ；
3）修改从 出发的到集合V-S中任一顶点 的最短路径长度。
问题描述
在有向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短值。
算法思想
按路径长度递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和。
（反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
G={V,E}
1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值
若不存在，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止
算法实现
pascal语言
下面是该算法的Pascal程序
主程序调用：求长度：初始化t，然后dijkstra(qi,t,c,d)
求路径：make(m,d,e) ，m是终点
C语言
下面是该算法的C语言实现
大学经典教材<<数据结构>>(C语言版 严蔚敏 吴为民 编著) 中该算法的实现
堆优化
思考
该算法复杂度为n^2,我们可以发现，如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，取出最短路径的复杂度降为O(1)；每次调整的复杂度降为O（elogn）；e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。
实现
1. 将源点加入堆，并调整堆。
2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。
3. 处理与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点
1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。
2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。
4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。
Java代码
提出
迪杰斯特拉晚年在采访中透露，当年他正在和未婚妻逛街，在咖啡馆中休息，突然有了灵感，便在没有纸笔的情况下用20分钟构建起了该算法。
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