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逆映射

数学术语

设 f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样得到的映射称为映射 f：A→B的逆映射，记作 1/f：B→A。必须是一一对应的单射才能满足。

定义
（1）单射：设f是集合A到集合B的一个映射，如果对于任意a，b属于A，当a不等于b时有f(a)不等于f(b)，则称f是A到B内的单映射 。
（2）满射：如果对任意的b属于B都有一个a属于A使得f（a）=b，则称f是A到B上的映射，或称f是A到B的满映射。
（3）逆映射：设有映射f：A->B,如果存在映射g：B->A使得g*f=IA，f*g=IB其中IA、IB分别是A与B上的恒等映射，则称g为f的逆映射。
逆映射，用较为通俗但不太严格的语言来表述，就是：设有映射f：A—B，若存在映射g：B—A，使得：
1）先执行f，再执行g，执行的结果是gf：A—A，即gf等于A上的恒等映射 ；
2）先执行g，再执行f，执行的结果是fg：B—B，即fg等于B上的恒等映射，则g叫做f的逆映射。画一个图，更直观。
设f：A→B，如果有g：B→A使得g。f=，f。g=。则说f是可逆映射。
性质
设f：A→B是可逆映射，那么使得g。f=，f。g=的g：B→A是由f唯一确定的（此时记g=)。
证：如果还有h:B→A使g。h=，f。h=，那么可得（g。f）。h=g。（f。h） 但（g。f）。h=。h=h，g。（f。h）=g。=g，从而h=g.。当f：A→B可逆时，这个由f唯一确定的映射：B→A即称为f的逆映射。
判定
映射f：A→B是可逆映射，必要且只要f是双射。
证明：如果f是可逆映射，那么，应有映射g：B→A使得g。f=，f。g=。由于恒等映射是单的，则易证f是单射。由于恒等映射是单的，则易证f是满射。所以 f是双射。
反过来，如果f：A→B是个双射，对任意bB，由于f为双射，故必有且只有一个aA使f（a）=b。则按这个规则，B中每一个元素b都有且只有一个aA与之对应。这个规则（也就是B到A的一个映射）记为g，则g：B→A对任意bB，g（b）=a，f（a）=b。
则对任意bB，设f（a）=b则（f。g）（b）=f（g（b））=f（a）=b=（b），也就是f。g=。
同样，对任意aA，设f（a）=b，则（g。f）（a）=g（f（a））=g（b）=a=（a），也就是g。f=。
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