逆问题

数学术语

逆问题，又称为反问题。指根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，起着倒果求因的作用。正问题则是指一般是按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。简而言之，一般的问题是由因求果，反问题就是执果索因，已知结果去探求原因。

基本内容

反问题通常体现了一种逆向思维。冯康先生在上世纪八十年代初曾经著文《数学物理中的反问题》，较早地介绍了这个新的研究方向。他将反问题的功能概括为“由表及里”、“索隐探秘”、“倒果求因”。在中国的传统文化中，只有智者高人才能透过现象看清本质，甚至参透因果，一语破的。科学化的反问题研究为我们在解决问题，增长智慧方面提供了很好的案例和方法论。

发展简史

1846年，法国人Le Verrier发现了海王星；1880年，美国学者J.A.Ewing等人发明了近代地震仪，提出了地震记录的分析问题；1907年，Herglog提出了地震走时数据的反演；1909年，A.Mohorovicic发现了莫霍面；1912年，Beno Gutenbeg发现了古登堡面；1935年，Lehmann发现了地球外核和内核的分界面。这些工作都对地球物理反演学术思想的形成和发展起到了巨大的推动作用。

但在第一台数字计算机诞生之前，反问题的发展非常缓慢，反演方法只有选择法和量版法。1967-1970年，美国地球物理学家Backus和应用数学家Gilbert连续发表了三篇关于平均核法的文章，奠定了反演理论的基础；Tikhonov（吉洪诺夫）20世纪40年代，提出了正则化方法（1977，Solutions of ill-posed problems,美国。中译本，1979）；70年代初，英国学者G.Honsfield研制出了第一台医用CT机以及他和美国学者A.M.Cormack共同获得了1979年度生理性和医学诺贝尔奖，大大推动了有关不可见物体层析成像的研究热潮，也极大地推动了反问题数学理论、数值方法以及应用的发展。

随着反问题应用的蓬勃发展，在计算机视觉，自然语言处理，机器学习，统计学，推论统计学，地理，医学成像（比如X射线计算机断层成像和脑电图/事件相关电位），遥感，海洋声学层析，无损检测，航空，物理学领域中随处可见。国际上四种反问题杂志：Inverse Problems、 Inverse Problems and Imaging、Inverse Problems in Science and Engineering、Journal of inverse and ill-posed problems。我国反问题的研究是由计算数学家冯康倡导（1982）。他把反问题列为计算数学四大问题之一（正问题、反问题、逼近问题和代数问题）。

分类

按应用分类

（1）微分算子参数识别问题

（2）逆时间过程反问题

（3）寻源反问题

（4）边界控制反问题

（5）几何反问题

（6）混合反问题

按问题分类

（1）电脑断层扫描（CT）

（2）反散射

（3）逆热传导问题

（4）地球物理反问题

（5）成像中的逆问题

（6）微分方程中参数的识别

特征

应用

尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。

物性探测

比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。可以想象，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息（地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。

扫描成像

本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内部形貌的方法。据此Mohobovic（1909年）发现了地壳与地幔之间的断层。之后，利用地震波的接收信号通过成像来考察地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如，通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形状。

成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是X光射线。自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理，来重建体内的结构信息，生成透视图像供医疗诊断参考，其核心算法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。

逆时反演

在科学研究中经常会有逆时反问题。当然，反问题研究不是历史学，它所研究的对象一般要满足某种类型的演化方程或数学模式。例如，通过远程测得的某次爆炸产生的辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量，这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能否确定过去某个时间的温度状态，这就成为热传导方程的逆时反问题。

在研究和应用上经常是相互联系的，分门别类只是为了叙述方便。另外，反问题与其它数学学科之间并没有一个严格的界限，而是互为补充，互相促进。反问题的研究起源于数理方程，其反演算法中包含了微分方程数值解法、最优化方法和概率统计等方面的许多思想和技巧。另一方面，反问题的研究也促进了人们对世界的认识，使得研究更全面、深化。

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