透镜空间

数学术语

透镜空间是数学中考虑的拓扑空间的一个例子。该术语通常是指特定类型的三维多面体，但也可以定义为更高的维度。

定义

透镜空间是数学中考虑的拓扑空间的一个例子。该术语通常是指特定类型的三维多面体，但通常也可以定义为更高的维度。

在三维多面体的情况下，透镜空间可以通过将两个实心圆弧通过其边界的同态粘合在一起而被可视化。通常，如上所述，三球（3-sphere）以及S×S因为它们是三维的，所以两者都可以被计算。

三维透镜空间L（p，q）由Tietze在1908年引入。它们是第三种已知的三维多面体实例，它们不是由它们的同源组和基本组决定的，以及其同构型不是由其同构型确定的封闭多面体。J.W. 亚历山大在1919年表明，即使他们具有同构的基本原理，尽管他们没有相同的同构型，透镜空间L（5; 1）和L（5; 2）也属于群体和同源。其他透镜空间具有相同的同构型（因而是同构的基本组和同源性），但不是同胚型，因此，它们可以被看作是与代数拓扑不同多面体的几何拓扑的诞生。

根据基础组和Reidemeister扭转，有三维透镜空间的完整分类。

定义

三维透镜空间是在的商。更准确地说，让和成为互质整数，并把视为里的球。然后在中由下式生成：

所得到的商空间称为透镜空间。

这可推广到更高的维度，如下式所示：令p,q1,......qn是整数，显示方式qi是p的互补码，并将S2n-1视为C n。透镜空间L（p, q1,......qn）是S2n-1中Z/p由下式生成：

在三维中，我们有L（p; q）= L（p; 1,q）。

替代定义

三维透镜空间L（p，q）通常被定义为具有以下识别的实心球：首先在实心球的赤道上标记p等距点，将它们表示为a0到ap-1，然后在球，将连接点的测地线连接到北极和南极。现在通过识别南极的北极和具有ai + q和ai + 1的ai + q + 1的点ai来识别球形三角形。所得空间与透镜空间L（p，q）是同态的。

另一个相关定义是将固体球视为以下实心双锥体：构造平面规则的双面多边形。直接在多边形的中心上方放置两点n和s。通过将常规p边多边形的每个点连接到n和s来构造双锥体。填充双锥体使其固体，并在边界上给出与上述相同的标识。

空间分类

1）和L（p; q2）是：

同构当量当且仅当

在这种情况下，他们是“明显的”同构，因为人们很容易产生同构。很难显示这些是唯一的同型透镜空间。

给出三维透镜空间的同构分类的不变量是扭转联接形式。

同构分类更微妙，由Reidemeister扭转给出。这是在（Reidemeister 1935年）中给出的，作为PL同构的分类，但在（Brody 1960）中被证明是一个同构分类。在现代，透镜空间由简单的同构型确定，并没有正常的不变量（如特征等级）或手术阻塞。

（Przytycki&Yasuhara 2003）给出了一个结理论分类：令C为透镜空间中的闭合曲线，该透镜空间提升到透镜空间的通用盖中。如果提升的结有一个简单的亚历山大多项式，计算对上的扭转链接形式（C，C） - 那么这给出同胚分类。

透镜空间的上同调群

通过纤维丛和谱序列的知识可以得到透镜空间的上同调群具有如下结构：

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