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逐点收敛

数理科学术语

在数学中，逐点收敛（或称简单收敛）描述的是一列函数向一个特定函数趋近的现象中的一种。简单来说，就是对定义域里的每一点，这个函数列在这点上的取值都趋于一个极限值。这时，被趋近的这个特定函数称作函数列的逐点极限。在各种收敛中，逐点收敛最为直观，容易想象，但不能很好地保持函数的一些重要性质，比如说连续性等等。

定义
设 是一列拥有同样定义域的函数。 逐点收敛当且仅当存在函数 ，使得对定义域中的每个 ，都有：
这时我们就说 逐点收敛到 。
性质
与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛。后者的定义如下：
一致收敛到 当且仅当在定义域 中
相比较下，一致收敛是一个更“强”的概念。一致收敛的函数列必然逐点收敛，反之则不尽然。一个简单的例子是开区间 上的函数列 ， 逐点收敛到函数 ，但并不一致收敛到0，因为
。
一致收敛能够保持函数列的连续性，但逐点收敛不能。例如，上述函数 在闭区间 上连续，但是 逐点收敛到的函数 ，在上取值为0，在1上取值为1，不是连续函数。
中函数的取值可以是实数，也可以是任何使得其定义有意义的拓扑空间。一致收敛函数的适用范围则相对较小，只能在一个度量空间中定义，因为定义中使用到了距离的概念。
拓扑性质
逐点收敛也可以理解为由半范数建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。
测度论
在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。
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