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递归可枚举集合

可计算性理论或更狭义的递归论中的概念

递归可枚举集合（英语：Recursively enumerable set）是可计算性理论或更狭义的递归论中的一个概念。可数集合S被称为是递归可枚举、计算可枚举的、半可判定的或可证明的，如果存在一个算法，只有当输入是S中的元素时，算法才会中止。或者等价的说，存在一个算法，可以将S中的成员枚举出来。也就是说该算法的输出就是 S 的成员列表: s1, s2, s3, ... 如果需要它可以永远运行下去。包含所有可递归枚举集合的复杂性类是 RE。共同的编程意义会暗示出如何转换一种算法到等价的另一种算法。第一种情况说明了为什么有时说半可判定的，而第二种情况说明了为什么叫计算可枚举的。

定义
可数集合 S 是递归可枚举的，如果存在一个偏可计算函数 f 使得
换句话说，S是 f的域:
(注意这是偏函数的域的两种可能意义之一，是在递归论中所偏好的定义域。参见在偏函数中的讨论。
集合S被成为co-递归可枚举的或co-r.e.，如果S的补集是递归可枚举的。
等价定义
可数集合S被叫做递归可枚举的，如果存在着一个偏可计算函数 ，使得 S是 f 的值域:
f被称为枚举函数，因为它关联上一个枚举上的次序(rank)到 S 的每个元素。
注解
因为邱奇-图灵论题声称可计算函数被图灵机和其他计算模型等价的定义，我们陈述定义为
这也是递归可枚举集合的常见定义。
例子
对于偏可计算函数 的哥德尔数i，则集合 (带有 康拖尔配对函数) 是递归可枚举的。这个集合编码了停机问题，因为它描述了每个图灵机停机的输入参数。
给定一个偏可计算函数 的哥德尔数x，则集合 是递归可枚举的。这个集合编码判定一个函数值的问题。
性质
如果A和B是递归可枚举集合，则A∩B、A∪B和A×B是递归可枚举集合。集合A是递归集合，当且仅当A和A补集二者是递归可枚举集合。递归可枚举集合一个可计算函数下的原像是递归可枚举集合。
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